Карта → задачник
Задачник
Здесь собраны задачи, которые в самом деле решали: из папируса Ринда, из «Девяти глав», у Диофанта, в «Лилавати», у Магницкого. Каждая дана дважды — так, как она звучала тогда, и так, как её записали бы сегодня. Разница между двумя записями и есть предмет этого раздела: она показывает, чего у людей не было и что им приходилось делать вместо этого.
171 задача · 58 источников · 1850 до н. э. — 1913 · у 144 сохранилась подлинная формулировка · 64 точки карты
Отобрано: 11 класс 47
-
Усечённая пирамида
Московский математический папирус · задача 14
Найти объём усечённой пирамиды с квадратными основаниями: высота 6, сторона нижнего основания 4, верхнего 2.
-
Поверхность корзины
Московский математический папирус · задача 10
Найти поверхность корзины с отверстием $4\frac12$, если считать площадь круга по египетскому правилу: сторона равновеликого квадрата равна $\frac89$…
-
За сколько лет удвоится долг
Вавилонские клинописные таблички · табличка о росте серебра
Деньги отданы под 20 % годовых, проценты начисляются на проценты. Через сколько лет сумма удвоится?
-
Круглый амбар
Папирус Ринда · задача 41
Найти вместимость круглого амбара диаметром 9 и высотой 10 по египетскому правилу: площадь основания считать как квадрат со стороной $\frac89$…
-
Стадо бога Солнца
Сочинения Архимеда · «Задача о быках», письмо Эратосфену
Стадо состоит из белых, чёрных, пёстрых и рыжих быков и коров. Восемь условий связывают их количества дробными отношениями, а два последних требуют…
-
Задача Аполлония
Аполлоний, «О касаниях» · по описи Паппа, кн. VII
Даны три окружности. Построить окружность, касающуюся всех трёх. Сколько таких окружностей?
-
Объём шара: полтысячи лет ошибки
Девять глав о математическом искусстве · глава 4, задачи 23–24; комментарий Лю Хуэя
Древнекитайское правило даёт объём шара как $\frac{9}{16}d^3$. Найти по нему объём шара диаметром 10, сравнить с истинным и определить, какому…
-
Кубический корень по Герону
Герон, «Метрика» · книга III
Найти $\sqrt[3]{100}$ по правилу Герона: взять ближайшие кубы $64=4^3$ и $125=5^3$, вычислить $d_1=100-64=36$ и $d_2=125-100=25$, а затем прибавить к…
-
Вызов на год
Брахмагупта, «Брахмаспхутасиддханта» · глава XVIII
Найти наименьшее решение в натуральных числах уравнения $x^2-92y^2=1$.
-
Сумма четвёртых степеней
Геометрия и вычисления исламского мира · Ибн аль-Хайсам, «Об измерении параболического тела»
Найти $1^4+2^4+3^4+4^4+5^4$ и проверить на этом примере формулу $\dfrac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30}$.
-
Задача о круглом зеркале
Геометрия и вычисления исламского мира · Ибн аль-Хайсам, «Книга оптики», кн. V
Дана окружность и две точки внутри неё. Найти на окружности точку, в которой луч, вышедший из первой точки, отразится во вторую (угол падения равен…
-
Куб через параболу и окружность
Омар Хайям: алгебра и календарь · о кубических уравнениях
Парабола $x^2=2y$ и окружность $x^2+y^2=4x$ пересекаются, кроме начала координат, ещё в одной точке. Найти её и убедиться, что её абсцисса — корень…
-
Деление, которое не кончается
Геометрия и вычисления исламского мира · ас-Самавал, «Блистательное в алгебре», ок. 1150
Разделить 1 на $1-x$ «столбиком», располагая по возрастающим степеням $x$. Что получится и когда этому можно верить?
-
Чакравала и число 61
Бхаскара II, «Биджаганита» · о циклическом методе
Найти наименьшее решение в натуральных числах уравнения $x^2-61y^2=1$.
-
Сеть цифр
Бхаскара II, «Лилавати» · раздел «анка-паша» — сеть цифр
Сколько шестизначных чисел можно составить из цифр 2, 3, 4, 5, 6, 7, употребляя каждую ровно один раз? Найти сумму всех таких чисел.
-
Квадрат, остающийся квадратом
Фибоначчи, «Книга квадратов» · задача Иоанна Палермского
Найти рациональное число, квадрат которого при прибавлении и при вычитании 5 остаётся квадратом рационального числа.
-
Девять верных знаков
Фибоначчи, «Флос» · задача Иоанна Палермского
Решить уравнение $x^3+2x^2+10x=20$. Фибоначчи записал корень шестидесятеричной дробью $1;22,7,42,33,4,40$ — перевести её в десятичную и сравнить с…
-
Уравнение четвёртой степени
Цинь Цзюшао, «Математический трактат в девяти разделах» · раздел 5
Найти положительный корень уравнения $-x^4+763200x^2-40642560000=0$, к которому Цинь Цзюшао свёл задачу о треугольном поле.
-
Пара Туси
Ат-Туси: тригонометрия и механика · «Изложение Альмагеста», ок. 1247
Окружность радиуса $R/2$ катится без скольжения внутри окружности радиуса $R$. Какую линию описывает точка малой окружности?
-
Стадо Нараяны
Нараяна Пандит, «Лунный свет математики» · «Ганита-каумуди», о рядах
Корова ежегодно приносит по телёнку; тёлка начинает телиться на четвёртом году жизни. Пусть $a_n$ — число голов в стаде к концу $n$-го года, причём…
-
Ряд, который сходится слишком медленно
Керальская школа: Мадхава и «Юктибхаша» · по «Юктибхаше», глава о круге
Ряд Мадхавы даёт $\pi = 4\left(1-\frac13+\frac15-\frac17+\ldots\right)$. Сколько членов надо взять, чтобы получить $\pi$ с точностью до двух знаков…
-
Шестнадцать знаков
Геометрия и вычисления исламского мира · ал-Каши, «Трактат об окружности»
Ал-Каши последовательно удваивал число сторон правильного многоугольника, начав с шестиугольника, и дошёл до $3\cdot2^{28}$ сторон. Сколько это…
-
С какого места лучше смотреть
Задача Региомонтана · письмо к Христиану Родеру, 1471
Статуя высотой $a$ стоит на колонне высотой $b$. На каком расстоянии от основания колонны надо встать наблюдателю (глаз на уровне земли), чтобы…
-
Делёж прерванной игры
Пачоли, «Сумма арифметики» · часть I, отдел 9
Двое играют до шести побед, поставив по 50 дукатов. Игра прервана при счёте 5:3. Как справедливо разделить 100 дукатов?
-
Куб и шесть его сторон
Кардано, «Великое искусство» · глава XI
Решить уравнение $x^3+6x=20$ по правилу Кардано: $x=\sqrt[3]{\sqrt{108}+10}-\sqrt[3]{\sqrt{108}-10}$. Убедиться, что получается целое число, и…
-
Четвёрка через мнимые числа
Бомбелли, «Алгебра» · книга II
У уравнения $x^3=15x+4$ корень $x=4$ виден сразу. Формула же Кардано даёт $x=\sqrt[3]{2+\sqrt{-121}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{-121}}$. Проверить, что…
-
Уравнение сорок пятой степени
Виет: буквенная алгебра · ответ на вызов Адриана ван Роомена, 1593
Ван Роомен предложил уравнение вида $45y-3795y^3+95634y^5-\ldots+y^{45}=C$. Виет заметил, что левая часть есть в точности выражение $2\sin 45\alpha$…
-
Австрийская бочка
Задачи Возрождения на наибольшее и наименьшее · Кеплер, «Новая стереометрия винных бочек», 1615
Виноторговец мерил бочку прутом, вставляя его в отверстие посреди боковой стенки и упирая в дальний нижний край дна: прут проходит по горизонтали…
-
Девятка и десятка
Рождение теории вероятностей · записка «О выходах при игре в кости»
Бросают три игральные кости. И девятку, и десятку можно получить шестью разными наборами очков. Почему же на опыте десятка выпадает чаще?
-
Площадь под аркой циклоиды
Циклоида: «Елена геометров» · Роберваль, 1634
Колесо радиуса $r$ катится по прямой без скольжения; точка обода вычерчивает арку циклоиды. Найти площадь под одной аркой и сравнить её с площадью…
-
Два вопроса кавалера де Мере
Рождение теории вероятностей · переписка Паскаля и Ферма, 1654
Выгодно ли ставить на то, что при четырёх бросках одной кости выпадет хоть одна шестёрка? А на то, что при двадцати четырёх бросках двух костей…
-
Кто бросает первым
Гюйгенс, «О расчётах в азартной игре» · задача 3 из пяти, оставленных читателю
Двое по очереди бросают две кости. B бросает первым и выигрывает, если выпадет 6 очков; A выигрывает, если выпадет 7. Игра идёт, пока кто-нибудь не…
-
Разорение игрока
Гюйгенс, «О расчётах в азартной игре» · задача 5 из пяти, оставленных читателю
У A и у B по 12 фишек. Бросают три кости: при 11 очках A отдаёт фишку B, при 14 очках B отдаёт фишку A; прочие исходы ничего не меняют. Выигрывает…
-
Длина арки без числа пи
Циклоида: «Елена геометров» · Кристофер Рен, 1658
Найти длину одной арки циклоиды, вычерчиваемой точкой обода колеса радиуса $r$.
-
По какой кривой висит цепь
Классические задачи о наибольшем и наименьшем · вызов Якоба Бернулли, 1690
По какой кривой провисает тяжёлая однородная цепь, подвешенная за два конца? Галилей утверждал, что по параболе. Прав ли он?
-
Кривая быстрейшего спуска
Задачи Возрождения на наибольшее и наименьшее · вызов Иоганна Бернулли, июнь 1696
В вертикальной плоскости даны две точки, не лежащие на одной вертикали. По какой кривой шарик, скатываясь под действием тяжести без трения, попадёт…
-
Сколько нужно испытаний
Якоб Бернулли, «Искусство предположений» · часть IV, глава V
Доля белых шаров равна $\frac35$. Сколько извлечений с возвращением нужно, чтобы с шансами не хуже $1000:1$ наблюдённая частота отличалась от…
-
Базельская задача
Задачи Эйлера · решение базельской задачи, 1735
Найти сумму $1+\frac14+\frac19+\frac1{16}+\ldots$. Оценить, сколько членов нужно взять, чтобы получить два верных знака после запятой.
-
Петербургская игра
Даниил Бернулли: петербургский мемуар · мемуар 1738 года
Монету бросают до первого орла. Если он выпал на $n$-м броске, игрок получает $2^{n}$ дукатов. Найти математическое ожидание выигрыша. Сколько вы…
-
Сколькими способами разрезать многоугольник
Задачи Эйлера · переписка с Сегнером, 1751
Сколькими способами выпуклый шестиугольник разбивается непересекающимися диагоналями на треугольники? А пятиугольник и семиугольник?
-
Игла Бюффона
Бюффон, «Опыт нравственной арифметики» · раздел о вероятностях, 1777
На пол, разлинованный параллельными прямыми на расстоянии $d$ друг от друга, наудачу бросают иглу длиной $\ell \leqslant d$. Какова вероятность, что…
-
Треугольник, который нельзя увеличить
Лобачевский: воображаемая геометрия · «О началах геометрии»
В геометрии Лобачевского площадь треугольника равна $S=R^2(\pi-\alpha-\beta-\gamma)$, где $R$ — постоянная пространства, а углы взяты в радианах…
-
Вилка для числа простых
Чебышёв: петербургская школа · «Mémoire sur les nombres premiers», 1850
Чебышёв доказал, что при достаточно больших $x$ число простых $\pi(x)$ заключено между $0{,}921\cdot\frac{x}{\ln x}$ и $1{,}106\cdot\frac{x}{\ln x}$…
-
Многочлен, наименее уклоняющийся от нуля
Чебышёв: петербургская школа · «Теория механизмов, известных под названием параллелограммов», 1854
Среди всех многочленов $x^2+bx+c$ найти тот, у которого наибольшее по модулю значение на отрезке $[-1;1]$ наименьшее. Чему равно это наименьшее…
-
Неравенство Чебышёва
Чебышёв: петербургская школа · «О средних величинах», 1867
У случайной величины математическое ожидание $m$ и среднее квадратичное отклонение $\sigma$. Оценить сверху вероятность того, что она отклонится от…
-
Погода как цепь
Марков: цепи и «Евгений Онегин» · по «Распространению закона больших чисел», 1906
За ясным днём следует ясный с вероятностью $0{,}8$, за дождливым — ясный с вероятностью $0{,}4$. Какая доля дней окажется ясной, если наблюдать…
-
Двадцать тысяч букв «Онегина»
Марков: цепи и «Евгений Онегин» · доклад Академии наук, 23 января 1913
Марков выписал подряд 20 000 букв «Евгения Онегина»; гласных среди них 8638. Сколько пар «гласная — гласная» встретилось бы среди 19 999 соседних…