Европа · часть IV, глава V
Сколько нужно испытаний
Как звучало тогда
В урне 3000 белых камешков и 2000 чёрных, но нам это неизвестно. Сколько раз надо вынуть камешек, возвращая его обратно, чтобы стало в тысячу раз вероятнее, что доля белых отличается от истинной меньше чем на одну пятидесятую?
Условие
Доля белых шаров равна $\frac35$. Сколько извлечений с возвращением нужно, чтобы с шансами не хуже $1000:1$ наблюдённая частота отличалась от $\frac35$ меньше чем на $\frac1{50}$? Сравнить ответ Бернулли с нынешней оценкой.
Показать ответ
у Бернулли 25 550 испытаний; нынешняя оценка — около 6500
О чём эта задача
Число 25 550 обескуражило самого Бернулли: урну с пятью тысячами камешков придётся тянуть двадцать пять тысяч раз, а он рассчитывал на разумную сотню. Двадцать лет он не решался печатать книгу, и она вышла посмертно. Оценка вчетверо завышена — Бернулли пользовался грубым неравенством, а не предельной теоремой; точную дал Муавр в 1733 году. Но вывод от этого только весомее: «золотая теорема» верна, а сходимость мучительно медленна, и всякий, кто ждёт закона больших чисел после десяти опытов, ошибается в тысячу раз.
Разбор — «как решали тогда» и «как решают сейчас» — для этой задачи ещё не написан.