Россия · «О началах геометрии»
Треугольник, который нельзя увеличить
Как звучало тогда
В воображаемой геометрии сумма трёх углов прямолинейного треугольника всегда менее двух прямых и притом тем менее, чем более площадь треугольника.
Условие
В геометрии Лобачевского площадь треугольника равна $S=R^2(\pi-\alpha-\beta-\gamma)$, где $R$ — постоянная пространства, а углы взяты в радианах. Может ли существовать треугольник сколь угодно большой площади? Чему равна наибольшая возможная площадь?
Показать ответ
нет: площадь любого треугольника меньше $\pi R^2$, и этот предел достигается лишь в пределе, когда все три угла стремятся к нулю
О чём эта задача
Вывод, невозможный в привычной геометрии: у Евклида треугольники бывают какой угодно площади, а здесь есть потолок — и он один и тот же для всего пространства. Отсюда же следует, что подобных треугольников не бывает вовсе: у двух треугольников с равными углами равны и площади, то есть они попросту равны. Уменьшить чертёж, сохранив форму, нельзя. Лобачевский вывел всё это, не имея модели и не зная, существует ли описываемый им мир; уверенность ему давало то, что противоречий не появлялось, сколько он ни считал.
Разбор — «как решали тогда» и «как решают сейчас» — для этой задачи ещё не написан.