Казань, 23 февраля 1826 года

Событие

11 (23) февраля 1826 года на заседании отделения физико-математических наук Казанского университета Николай Иванович Лобачевский, тридцати трёх лет, читает доклад с французским названием «Exposition succincte des principes de la géométrie avec une démonstration rigoureuse du théorème des parallèles» — «Сжатое изложение начал геометрии со строгим доказательством теоремы о параллельных».

Рукопись до нас не дошла: её передали на отзыв трём профессорам, отзыва не последовало, а обратно бумагу не вернули. Первая печатная работа — «О началах геометрии», выходившая частями в «Казанском вестнике» в 1829–1830 годах.

Дальше — история непризнания, которую стоит знать в подробностях, потому что она поучительна.

Академия наук отправила работу на отзыв М. В. Остроградскому, крупнейшему тогда русскому математику. Отзыв уничтожающий: автор, по мнению рецензента, допустил ошибку и написал книгу, «которая не заслуживает внимания Академии».
Анонимный памфлет в «Сыне отечества» (1834) высмеивал сочинение как непонятное и предлагал автору написать роман.
Чтобы пробиться к европейскому читателю, Лобачевский издаёт по-немецки «Geometrische Untersuchungen zur Theorie der Parallellinien» (Берлин, 1840) — 61 страница, ясно и коротко. Тираж мал, откликов почти нет. Зато книгу прочёл Гаусс: он хвалил её в письмах Шумахеру и добился избрания Лобачевского членом-корреспондентом Гёттингенского учёного общества (1842) — но публично не написал о ней ни строчки.
Последняя работа, «Пангеометрия» (1855), продиктована ослепшим и уже отстранённым от должности автором за год до смерти.

Здесь стоит поправить ходячую формулировку «Гаусс выучил русский язык, чтобы прочесть Лобачевского». Книга 1840 года была немецкой — ради неё учить язык не требовалось. Русским Гаусс действительно занялся, примерно с 1839 года, в шестьдесят два; по свидетельствам современников он читал на нём и художественную литературу, и более ранние работы Лобачевского, существовавшие только по-русски: «О началах геометрии» (1829–1830) и «Новые начала геометрии» (1835–1838). Верный порядок такой: сначала русский язык, потом немецкая книга, потом избрание в Гёттингенское общество.

Лобачевский называл своё построение «воображаемой геометрией» — не потому, что считал её фантазией, а по аналогии с «воображаемыми» (комплексными) числами: законная конструкция, чей смысл ещё предстоит выяснить.

Что именно он построил

Разница между Лобачевским и его предшественниками не в смелости, а в объёме сделанного. Саккери и Ламберт доказывали отдельные теоремы; Лобачевский построил науку целиком: планиметрию, стереометрию, тригонометрию, формулы длин, площадей и объёмов, приложения к вычислению определённых интегралов. Именно полнота построения и есть аргумент: система, из которой выведены сотни согласованных формул, вряд ли противоречива.

То, что Лобачевский принял всерьёз: через точку вне прямой проходит бесконечно много непересекающих её прямыхMathLocus · построено для этого сайта

Угол параллельности. Центральное понятие. Пусть точка $P$ отстоит от прямой $\ell$ на расстояние $x$. Прямые, проходящие через $P$, делятся на пересекающие $\ell$ и не пересекающие; между двумя классами есть две граничные прямые. Угол, который каждая из них образует с перпендикуляром $PH$, обозначается $\Pi(x)$ и называется углом параллельности. Лобачевский вывел формулу

$$\tg\frac{\Pi(x)}{2}=e^{-x/k},$$

где $k$ — та самая константа с размерностью длины, что появилась у Ламберта.

Разберём, что она означает. При $x\to0$ имеем $\Pi\to90^\circ$: вблизи прямой геометрия почти евклидова. При $x\to\infty$ угол $\Pi\to0$: издалека «конус видимости» прямой схлопывается. И самое главное — угол однозначно определяет расстояние. В евклидовой геометрии углы ничего не говорят о размерах (подобные фигуры бывают любого размера); здесь угол и длина связаны жёстко. Отсюда абсолютная единица длины, о которой писал Ламберт: можно, например, назвать эталоном отрезок, для которого $\Pi(x)=45^\circ$, и передать это определение по радио инопланетянам, не посылая метровую линейку.

Площадь и дефект. Как и у Ламберта,

$$S_{\triangle}=k^{2}\left(\pi-\alpha-\beta-\gamma\right).$$

Все треугольники имеют площадь меньше $\pi k^{2}$. «Идеальный» треугольник с тремя вершинами на бесконечности имеет ровно эту площадь — максимально возможную.

Тригонометрия. Здесь ключевой трюк Лобачевского, из-за которого его построение и стало работоспособным. Он рассматривает орисферу (предельную сферу — поверхность, получаемую из сферы, когда центр уходит в бесконечность) и доказывает: на орисфере, если считать её «прямыми» орициклы, выполняется обычная евклидова геометрия. Внутри неевклидова пространства сидит евклидова поверхность — и, спустившись с неё обратно, можно перенести привычные формулы. Так получаются соотношения гиперболической тригонометрии; для прямоугольного треугольника с катетами $a,b$ и гипотенузой $c$:

$$\ch\frac{c}{k}=\ch\frac{a}{k}\,\ch\frac{b}{k}.$$

Это гиперболическая теорема Пифагора. Проверим, что она содержит обычную. Пусть стороны малы по сравнению с $k$; разложим $\ch t\approx1+t^{2}/2$:

$$1+\frac{c^{2}}{2k^{2}}\approx\left(1+\frac{a^{2}}{2k^{2}}\right)\left(1+\frac{b^{2}}{2k^{2}}\right)\approx1+\frac{a^{2}+b^{2}}{2k^{2}}\quad\Longrightarrow\quad c^{2}\approx a^{2}+b^{2}.$$

Общая теорема косинусов выглядит так:

$$\ch\frac{a}{k}=\ch\frac{b}{k}\ch\frac{c}{k}-\sh\frac{b}{k}\sh\frac{c}{k}\cos A .$$

Окружность. Длина окружности радиуса $r$ и её площадь:

$$L=2\pi k\sh\frac{r}{k},\qquad S=4\pi k^{2}\sh^{2}\frac{r}{2k}.$$

При малых $r$ обе формулы дают привычные $2\pi r$ и $\pi r^{2}$. При больших — растут экспоненциально: $L\approx\pi k\,e^{r/k}$. Пространство Лобачевского «просторнее» евклидова; на расстоянии $r$ от точки помещается экспоненциально больше места. Именно это свойство через полтора века окажется востребованным в теории групп (гиперболические группы Громова) и в компьютерных науках, где гиперболические вложения используют для представления иерархий: дерево естественно вкладывается в плоскость Лобачевского и не влезает в евклидову.

Проверка опытом

Самое современное в Лобачевском — то, что он не остановился на математике. Если геометрия мира — его, то у любой звезды должен быть минимальный параллакс, не зависящий от расстояния: угол параллельности не убывает до нуля при конечном $k$. Взяв тогдашние (сильно завышенные) данные о параллаксе Сириуса, он оценил снизу константу $k$: не меньше примерно 166 000 диаметров земной орбиты.

Иначе говоря: если пространство и искривлено, то настолько слабо, что в пределах доступных измерений отличить его от евклидова нельзя. Вывод отрицательный — и абсолютно правильный по методу. Впервые вопрос «какова геометрия пространства?» поставлен как вопрос измерения, а не размышления; через 28 лет то же самое скажет Риман, а ещё через 61 год Эйнштейн даст на него положительный ответ — искривлено, и мы умеем сказать, чем именно.

Второй Лобачевский

За рамками геометрии он оставил метод численного решения алгебраических уравнений (метод Лобачевского — Греффе — Данделена, независимо найденный тремя людьми), результаты о сходимости рядов и об условиях, при которых функция разлагается в тригонометрический ряд, и одно из первых внятных определений функции — как произвольного соответствия, а не формулы. И девятнадцать лет ректорства в Казанском университете, включая холерный карантин 1830 года, когда он запер университет и не потерял почти никого, и пожар 1842-го, когда были спасены библиотека и обсерватория.

Задача. Пользуясь формулой $\tg\frac{\Pi(x)}{2}=e^{-x/k}$, найдите расстояние $x$, на котором угол параллельности равен $45^\circ$, и покажите, что при $x=k$ угол параллельности примерно равен $40^\circ$.
(Ответ: $\Pi=45^\circ\Rightarrow \tg22{,}5^\circ=\sqrt2-1=e^{-x/k}\Rightarrow x=k\ln(1+\sqrt2)\approx0{,}881\,k$. При $x=k$: $\tg\frac{\Pi}{2}=e^{-1}=0{,}3679$, откуда $\Pi\approx 2\cdot20{,}2^\circ=40{,}4^\circ$.)

Следующая точка: Гёттинген — где всё то же самое лежало в столе уже двадцать лет и где будет придумано понятие, объясняющее, почему геометрий много.