Гаусс: внутренняя геометрия поверхностей

Мемуар

8 октября 1827 года Гаусс доложил Гёттингенскому королевскому научному обществу работу «Disquisitiones generales circa superficies curvas» («Общие исследования о кривых поверхностях»); напечатана она в 1828-м. Это самая влиятельная работа в истории дифференциальной геометрии, и её главную мысль можно сформулировать одной фразой: у поверхности есть собственная геометрия, не зависящая от того, как она вложена в пространство.

Выросла работа из практики. С 1818 года Гаусс руководил триангуляцией Ганноверского королевства — многолетней геодезической съёмкой, ради которой он изобрёл гелиотроп (прибор, отражающий солнечный луч на десятки километров) и лично провёл в поле годы. Измеряя треугольники на поверхности геоида, поневоле начинаешь думать о том, какая геометрия на криволинейной поверхности.

Метрика: как измерять, не выходя наружу

Пусть поверхность задана параметрически: $\mathbf{r}(u,v)$. Длина кривой на ней вычисляется через первую квадратичную форму

$$ds^{2}=E\,du^{2}+2F\,du\,dv+G\,dv^{2},$$

где $E=\mathbf{r}_u\cdot\mathbf{r}_u$, $F=\mathbf{r}_u\cdot\mathbf{r}_v$, $G=\mathbf{r}_v\cdot\mathbf{r}_v$.

Ключевая мысль: всё, что можно измерить, оставаясь на поверхности — длины кривых, углы между ними, площади, — выражается через $E,F,G$. Это и есть внутренняя геометрия. Житель поверхности, не подозревающий о существовании объемлющего пространства, имеет доступ ровно к этим данным.

Есть и вторая квадратичная форма — она описывает, как поверхность изгибается в объемлющем пространстве, и жителю поверхности недоступна. Её собственные значения — главные кривизны $k_1,k_2$.

Theorema egregium

Гаусс определяет гауссову кривизну как произведение главных:

$$K=k_{1}k_{2}.$$

Определение — внешнее: обе главные кривизны берутся из того, как поверхность изогнута в пространстве. И вот теорема, которую он сам назвал «замечательной»:

Theorema egregium. Гауссова кривизна выражается через коэффициенты первой квадратичной формы $E,F,G$ и их производные. Следовательно, она не меняется при изгибании поверхности без растяжений и сжатий.

Для ортогональной параметризации ($F=0$) формула такова:

$$K=-\frac{1}{2\sqrt{EG}}\left[\frac{\partial}{\partial u}\!\left(\frac{G_{u}}{\sqrt{EG}}\right)+\frac{\partial}{\partial v}\!\left(\frac{E_{v}}{\sqrt{EG}}\right)\right].$$

Смысл теоремы удобно объяснять на двух примерах.

Лист бумаги и цилиндр. Сверните лист в трубку. Длины на нём не изменились — значит, не изменилась и кривизна: $K=0$ и там, и там. Действительно, у цилиндра $k_1=1/R$, $k_2=0$, произведение равно нулю. Именно поэтому лист сворачивается в цилиндр или конус, но не в сферу.

Сфера и плоскость. У сферы радиуса $R$ обе главные кривизны равны $1/R$, значит $K=1/R^{2}>0$. У плоскости $K=0$. Кривизны разные — значит, никакой кусок сферы нельзя развернуть на плоскость без искажений. Это математическое доказательство того, что идеальной карты Земли не существует: любая проекция обязана врать либо в углах, либо в площадях, либо в расстояниях. Меркатор сохраняет углы и раздувает Гренландию; равновеликие проекции сохраняют площади и кривят очертания; компромиссные врут понемногу везде. Теорема Гаусса объясняет, почему выбирать приходится.

Пример с отрицательной кривизной. Псевдосфера — поверхность вращения трактрисы — имеет $K=-1/a^{2}$ во всех точках. Для поверхности вращения с профилем, заданным натуральным параметром, $\big(f(t),\,g(t)\big)$, кривизна равна $K=-f''/f$; у трактрисы $f(t)=a e^{-t/a}$, и тогда $K=-1/a^2$. Это будет краеугольным камнем у Бельтрами.

Гаусс — Бонне: кривизна знает про углы

Из теоремы egregium Гаусс выводит соотношение, которое связывает геометрию с суммой углов напрямую. Для треугольника, стороны которого — геодезические (кратчайшие на поверхности):

$$\iint_{\triangle}K\,dA=\alpha+\beta+\gamma-\pi .$$

Интеграл кривизны равен избытку суммы углов над $\pi$. Проверим на сфере: $K=1/R^{2}$ постоянна, значит $S/R^{2}=\alpha+\beta+\gamma-\pi$ — сферическая формула площади, известная ещё Жирару (1629). А при $K=-1/k^{2}$ получаем

$$-\frac{S}{k^{2}}=\alpha+\beta+\gamma-\pi\quad\Longrightarrow\quad S=k^{2}(\pi-\alpha-\beta-\gamma)$$

— в точности формулу площади Лобачевского и Ламберта. То есть вся гиперболическая планиметрия локально есть геометрия поверхности постоянной отрицательной кривизны, и Гаусс располагал этим фактом за год до первой печатной работы ЛобачевскогоНиколай Иванович Лобачевскийрусский математик, ректор Казанского университета · 1792–1856Первым напечатал геометрию, в которой параллельных больше одной, — и двадцать лет выслушивал, что это бессмыслица. и за пять лет до «Аппендикса» БойяиЯнош Бойяивенгерский математик · 1802–1860«Из ничего я создал новый, иной мир» — так он написал отцу о неевклидовой геометрии. Гаусс ответил, что думал то же самое сорок лет; Бойяи счёл это кражей и больше почти ничего не напечатал..

Локальную формулу через сто лет обобщат до глобальной теоремы Гаусса — Бонне:

$$\iint_{M}K\,dA+\oint_{\partial M}k_{g}\,ds=2\pi\chi(M),$$

где $\chi$ — эйлерова характеристика. Слева геометрия (кривизна), справа топология (число, не меняющееся ни при каком изгибании и растяжении). Как ни мни сферу, интеграл кривизны по ней всегда равен $4\pi$. Это первый в истории пример индексной теоремы, и линия дойдёт от него до Атьи и Зингера.

Молчание

Что Гаусс знал о неевклидовой геометрии, известно из переписки и посмертных бумаг.

• Письмо Ф. А. Тауринусу, 8 ноября 1824: «Предположение, что сумма углов треугольника меньше 180°, ведёт к своеобразной, совершенно отличной от нашей геометрии, вполне последовательной… Все мои усилия найти в ней противоречие остались безуспешными». И тут же просьба считать письмо частным.
• Письмо Бесселю, 27 января 1829: он не публикует, потому что боится «крика беотийцев» (Geschrei der Böotier) — древние беотийцы у греков были нарицательным именем тупиц.
• Термины он менял: сначала «антиевклидова», потом «астральная», наконец «неевклидова» геометрия — слово, которым мы пользуемся, придумал он.

Оценки этого молчания расходятся. Одни считают, что публикация Гаусса сократила бы историю на тридцать лет. Другие возражают: Гаусс не имел модели и, значит, не мог доказать непротиворечивость — его уверенность была уверенностью, а не теоремой; а вот работа о поверхностях, которую он опубликовал, содержала как раз ту математику, из которой модель потом и вышла.

Отдельно стоит развенчать живучую легенду. Гаусс действительно измерял треугольник Броккен — Хоэхаген — Инзельсберг со сторонами в десятки километров. Но делал он это в рамках ганноверской съёмки, для проверки точности инструментов, а не для проверки геометрии Вселенной. Никаких его слов о таком замысле не сохранилось, а точность измерений была на много порядков меньше нужной: обнаруженный «избыток» в 14,85 угловой секунды полностью объясняется кривизной Земли.

Задача. Кусок сферы радиуса $R$ вырезан двумя меридианами, расходящимися под углом $\varphi$, и экватором. Найдите сумму углов этого «треугольника» и убедитесь, что она равна $\pi+\varphi$, а площадь — $R^{2}\varphi$. Согласуется ли это с формулой Гаусса — Бонне?

Следующая точка: Тимишоара — где то же самое откроет двадцатилетний военный инженер и получит от Гаусса ответ, сломавший ему жизнь.