«Из ничего я создал новый, иной мир»

Отец и сын

Фаркаш Бойяи (1775–1856), профессор в Марошвашархее (ныне Тыргу-Муреш), сам потратил годы на пятый постулат и знал ему цену. Узнав, что сын взялся за ту же задачу, он пишет одно из самых известных писем в истории математики:

«Ты не должен пытаться одолеть теорию параллельных… Я прошёл весь этот беспросветный мрак и погасил в нём всякий светоч, всякую радость жизни. Молю тебя, оставь науку о параллельных в покое… Она отнимет у тебя всё: досуг, здоровье, покой, всё счастье жизни».

Янош (1802–1860) не послушался. Военный инженер австрийской армии, служивший в Темешваре (Тимишоаре), он пошёл не путём отца — не пытался доказать постулат, а стал строить геометрию, где он не выполняется. 3 ноября 1823 года из Темешвара уходит письмо:

«Из ничего я создал новый, иной мир».

Абсолютная геометрия

Программа Яноша тоньше, чем «геометрия без пятого постулата». Он строит абсолютную науку о пространстве: систему утверждений, верных и в евклидовой геометрии, и в геометрии с острым углом, — и лишь потом смотрит, что происходит при выборе одного из вариантов.

Приём даёт формулы поразительной красоты. Обозначим $\odot r$ длину окружности радиуса $r$ (величина, смысл которой зависит от геометрии: в евклидовой $\odot r=2\pi r$, в гиперболической $\odot r=2\pi k\sh\frac{r}{k}$). Тогда абсолютная теорема синусов звучит так:

$$\frac{\sin A}{\odot a}=\frac{\sin B}{\odot b}=\frac{\sin C}{\odot c}.$$

Одна формула, две геометрии. Подставьте $\odot a=2\pi a$ — получите школьную теорему синусов $\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}$. Подставьте $\odot a=2\pi k\sh\frac ak$ — получите гиперболическую:

$$\frac{\sh (a/k)}{\sin A}=\frac{\sh (b/k)}{\sin B}=\frac{\sh (c/k)}{\sin C}.$$

Такой способ мышления — сначала выделить то, что не зависит от спорной аксиомы, — сам по себе методологический вклад, и он предвосхищает то, как в XX веке будут работать с независимыми аксиомами в теории множеств.

Как и ЛобачевскийНиколай Иванович Лобачевскийрусский математик, ректор Казанского университета · 1792–1856Первым напечатал геометрию, в которой параллельных больше одной, — и двадцать лет выслушивал, что это бессмыслица. (независимо и почти одновременно), Бойяи получает формулу угла параллельности и вводит орисферу с евклидовой геометрией на ней; его обозначение угла параллельности — $u$, а не $\Pi$, но содержание то же.

Квадратура круга — в другой геометрии

Финал «Аппендикса» содержит сюжет, ради которого его стоит открыть даже сегодня. Бойяи доказывает: в гиперболической геометрии круг можно квадрировать циркулем и линейкой. Не всякий — но существует бесконечно много кругов, для которых равновеликий квадрат строится.

Причина в том, что $\pi$ в гиперболической геометрии перестаёт быть препятствием. Площадь многоугольника здесь определяется его дефектом, то есть только углами: правильный четырёхугольник с углами $\theta$ имеет площадь $k^2(2\pi-4\theta)$. А площадь круга радиуса $r$ равна $4\pi k^{2}\sh^{2}\frac{r}{2k}$. Приравнивая, получаем условие на $r$ и $\theta$; если $\theta$ — построимый угол, кратный $\pi$ рациональным множителем, обе фигуры строятся по отдельности, и задача решена. Строить квадрат по данному кругу по-прежнему нельзя — но требуется-то равновеликость, а не построение одного из другого.

Мораль, полезная школьнику: неразрешимость задачи о квадратуре круга — не свойство круга и не свойство квадрата, а свойство евклидовой плоскости, где площадь связана с числом $\pi$, а $\pi$ трансцендентно. Смените плоскость — и препятствие исчезает.

Ответ ГауссаКарл Фридрих Гаусснемецкий математик и астроном · 1777–1855«Король математиков», у которого напечатанное было заметно меньше сделанного: половина результатов пролежала в дневнике до самой смерти — включая неевклидову геометрию.

«Appendix scientiam spatii absolute veram exhibens» вышел в 1832 году как приложение к первому тому «Tentamen» отца. Экземпляр отправили Гауссу — старому другу Фаркаша по гёттингенским годам. Ответ (письмо Фаркашу от 6 марта 1832 года) содержал фразу:

«Хвалить эту работу значило бы хвалить самого себя: всё её содержание, путь, которым идёт твой сын, и результаты почти сплошь совпадают с моими собственными размышлениями, занимавшими меня частью уже 30–35 лет».

Формально это высшая похвала: Гаусс добавляет, что «поражён до крайности» и считает молодого Бойяи гением первой величины. Но Янош прочёл письмо иначе — как заявление приоритета, отнимающее у него открытие. Он заподозрил, что отец давно передал его идеи Гауссу, поссорился с ним, оставил военную службу по болезни и почти прекратил печататься.

Второй удар пришёл в 1848 году, когда до него дошла немецкая книга Лобачевского 1840 года. Совпадение результатов было так велико, что Бойяи сначала решил, будто «Лобачевский» — псевдоним Гаусса, придуманный, чтобы отнять у него первенство. Разобравшись, он признал работу Лобачевского выдающейся, но написать обещанный отклик так и не смог. Умер в 1860 году, оставив около двадцати тысяч страниц рукописей.

Трое, и почему это не совпадение

Приоритет по праву публичности принадлежит Лобачевскому: он первым и доложил, и напечатал. Приоритет по времени — вероятно, Гауссу, но недоказуемо в том смысле, в каком математика понимает доказательство: неопубликованное не существует.

Куда интереснее вопрос, почему трое пришли к одному почти одновременно. Ответ, кажется, в том, что задача созрела: сочинения СаккериДжованни Саккериитальянский иезуит, логик и математик · 1667–1733Вывел десятки теорем неевклидовой геометрии, пытаясь довести её до противоречия, — и, не найдя противоречия, объявил, что нашёл. и Ламберта были напечатаны, список эквивалентов постулата составлен, ошибочность всех доказательств стала общим местом. Оставался единственный неиспробованный ход — принять отрицание всерьёз, — и его сделали одновременно в Гёттингене, Казани и Темешваре, в трёх странах, без всякой связи между собой. Так в науке чаще всего и бывает; истории про одиноких гениев — литературный жанр.

Задача. В гиперболической геометрии с $k=1$ найдите радиус круга, равновеликого правильному четырёхугольнику с углами $60^\circ$.
(Ответ: площадь четырёхугольника $2\pi-4\cdot\frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}$; приравнивая $4\pi\sh^{2}\frac r2=\frac{2\pi}{3}$, получаем $\sh\frac r2=\frac{1}{\sqrt6}$, откуда $r=2\operatorname{arsh}\frac{1}{\sqrt6}\approx0{,}797$.)

Следующая точка: Берн — где школьный учитель пересчитает правильные многогранники во всех размерностях сразу и обнаружит, что четвёртая — особенная.