Один день — две математики

Процедура

Габилитация в немецком университете состояла из двух частей: письменной работы (Habilitationsschrift) и пробной лекции (Habilitationsvortrag). Соискатель предлагал три темы лекции, факультет выбирал одну — по традиции первую.

Бернхард Риман (1826–1866) подал две темы по электричеству, в которых был уверен, и третью — по основаниям геометрии, которую подготовил меньше всего. Гаусс выбрал третью. Риман писал брату о мучительных неделях подготовки.

Письменная работа: интеграл

«Über die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe» («О возможности представления функции тригонометрическим рядом»), 1853–54; опубликована посмертно Дедекиндом в 1867 году.

Задача прямо продолжает линию Фурье. Коши определил интеграл для непрерывных функций. Но коэффициенты Фурье $\int f(x)\sin nx\,dx$ хочется считать для функций куда более диких — а что тогда значит интеграл?

Определение Римана. Разбиваем $[a,b]$ точками $a=x_0<\cdots<x_n=b$, выбираем произвольные $\xi_i\in[x_{i-1},x_i]$ и строим сумму

$$\sigma = \sum_{i=1}^{n} f(\xi_{i})\,\Delta x_{i}, \qquad \Delta x_i = x_i - x_{i-1}.$$

Функция интегрируема, если при $\max\Delta x_i\to0$ суммы $\sigma$ стремятся к одному пределу независимо от выбора точек $\xi_i$.

Критерий Римана. Обозначим колебание $\omega_i = \sup_{[x_{i-1},x_i]}f - \inf_{[x_{i-1},x_i]}f$. Функция интегрируема тогда и только тогда, когда

$$\sum_{i} \omega_{i}\,\Delta x_{i} \to 0.$$

Революционность в том, что это определение не требует непрерывности. Разрывов может быть бесконечно много — лишь бы суммарная «плохость» была мала.

Пример Римана

Чтобы показать, что новое определение действительно шире, Риман строит функцию. Пусть $\langle x\rangle$ — расстояние от $x$ до ближайшего целого, если $x$ не полуцелое, и $0$ иначе. Тогда

$$f(x) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\langle nx\rangle}{n^{2}}$$

разрывна в плотном множестве точек (во всех рациональных с чётным знаменателем) — и тем не менее интегрируема, поскольку скачки быстро убывают.

Для сравнения — функция Дирихле $\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}$: на любом отрезке колебание равно 1, значит $\sum\omega_i\Delta x_i = b-a \not\to 0$. Не интегрируема по Риману. Именно она станет главным аргументом Лебега.

Окончательный ответ, что же именно интегрируемо по Риману, дал сам Лебег в 1902 году: ограниченная функция интегрируема по Риману тогда и только тогда, когда множество её точек разрыва имеет меру нуль. Для формулировки критерия Римана понадобилось изобрести меру.

Бонус той же работы: теорема о перестановке

В том же тексте Риман доказывает поразительный факт. Если ряд $\sum a_n$ сходится условно (то есть сходится, а $\sum|a_n|$ расходится), то для любого числа $S$ (включая $\pm\infty$) существует перестановка членов, дающая сумму $S$.

Пример: $1 - \frac12 + \frac13 - \frac14 + \cdots = \ln 2$. Переставив члены, можно получить 5, или $-\pi$, или что угодно.

Коммутативность сложения — свойство конечных сумм. За пределом она отказывает. Ещё один сигнал: интуиция, воспитанная на конечном, в анализе опасна.

Лекция 10 июня 1854 года

«Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen» («О гипотезах, лежащих в основании геометрии»).

Риман читал почти без формул — аудитория была общефакультетской, — и изложил следующее:

Понятие $n$-мерного многообразия: пространство, локально устроенное как $\mathbb{R}^n$, но глобально произвольное.
Метрика, задаваемая в каждой точке своей квадратичной формой:
$$ds^{2} = \sum_{i,j} g_{ij}(x)\,dx^{i}dx^{j}.$$
Кривизна, определяемая внутренним образом — без всякого объемлющего пространства.
Вывод: евклидова геометрия — частный случай ($g_{ij}=\delta_{ij}$), неевклидовы — другие частные случаи. И главное: какова геометрия физического пространства — вопрос не логики, а опыта, и на малых или очень больших масштабах она может оказаться неевклидовой.

Через 61 год Эйнштейн запишет уравнения гравитации на этом самом языке. Риманова геометрия оказалась не обобщением ради обобщения, а точным математическим описанием реальности.

Гаусс — научный руководитель Римана, к тому времени семидесятисемилетний и тяжело больной — присутствовал и, по свидетельству Дедекинда, вышел с лекции в необычном для себя возбуждении и говорил о ней с восхищением. Часто пишут, что это было его последнее публичное появление; Гаусс умер 23 февраля 1855 года, и формулировка правдоподобна, хотя абсолютной уверенности в ней нет.

Лекцию опубликовал Дедекинд в 1868 году, уже после смерти Римана.

Итог одного дня

Пробная лекция и письменная работа одной габилитации дали: интеграл Римана (без которого нет школьного и вузовского курса анализа) и риманову геометрию (без которой нет общей теории относительности). Автору 27 лет; проживёт он ещё двенадцать и умрёт от туберкулёза в Италии в 39.

За те же годы он успеет создать теорию римановых поверхностей, доказать теорему о конформном отображении и написать восьмистраничную заметку 1859 года о распределении простых чисел, содержащую гипотезу, не доказанную до сих пор.

Эта точка — узел, где линия анализа пересекает линию геометрии, линию теории чисел и линию математической физики.

Следующая точка: Берлин — язык, на котором анализ говорит до сих пор, и чудовище, разрушившее интуицию.