Кантор: множества из рядов Фурье

Как из ряда Фурье получается теория множеств

Эту причинную цепочку стоит проследить по шагам — она нагляднее любых рассуждений о том, что «чистая математика вырастает из прикладных задач».

Шаг 0. Эдуард Гейне, коллега Кантора в Галле, ставит вопрос о единственности: если

$$\sum_{n} \left(a_{n}\cos nx + b_{n}\sin nx\right) = 0 \quad\text{для всех } x,$$

обязаны ли все коэффициенты быть нулями?

Шаг 1 (Кантор, 1870). Да, если равенство выполнено при всех $x$.

Шаг 2 (1871). Да и в том случае, если равенство нарушается в конечном числе точек.

Шаг 3 (1872). А если исключительных точек бесконечно много? Кантор вводит производное множество $P'$ — множество предельных точек множества $P$. Затем $P'' = (P')'$, и так далее. Теорема: единственность сохраняется, если $P^{(n)} = \varnothing$ для некоторого конечного $n$.

Шаг 4. А что, если все $P^{(n)}$ непусты, но их пересечение мало? Тогда естественно определить

$$P^{(\omega)} = \bigcap_{n\in\mathbb{N}} P^{(n)}, \quad\text{затем } P^{(\omega+1)} = \left(P^{(\omega)}\right)', \ \ldots$$

Вот и всё. Чтобы продолжить итерацию за пределы натуральных чисел, нужны трансфинитные порядковые числа. Кантор их изобретает — не из философского любопытства, а потому, что иначе не решается конкретная задача о тригонометрических рядах.

Из технического вопроса, поставленного Фурье в 1807 году, вырастает наука о бесконечном.

Счётность

Определение. Множество счётно, если его элементы можно занумеровать натуральными числами.

Теорема (1874). Множество рациональных чисел счётно.

Доказательство диагональным обходом таблицы дробей $p/q$ школьникам обычно показывают, и оно производит правильное впечатление: рациональных чисел «столько же», сколько натуральных, хотя они плотны на прямой, а натуральные — нет.

Теорема (1874). Множество алгебраических чисел (корней многочленов с целыми коэффициентами) счётно.

Идея: для многочлена степени $n$ с коэффициентами $a_i$ определим «высоту» $h = n + \sum|a_i|$. Многочленов данной высоты конечное число, у каждого не более $n$ корней. Нумеруем по возрастанию высоты. $\blacksquare$

Теорема (1874). Множество вещественных чисел несчётно.

Следствие, поражающее до сих пор. Раз алгебраических чисел счётно, а всех вещественных нет, трансцендентные числа существуют — причём их «подавляющее большинство». При этом доказательство не предъявляет ни одного конкретного трансцендентного числа.

Сравните: ЛиувилльЖозеф Лиувилльфранцузский математик · 1809–1882Первым предъявил трансцендентное число — построил его, а не доказал, что такие «должны существовать». И спас Галуа: разобрал рукописи, четырнадцать лет пролежавшие без движения, и напечатал их. в 1844 году построил трансцендентное число явно, ценой изрядной работы (числа Лиувилля вроде $\sum 10^{-k!}$); ЭрмитШарль Эрмитфранцузский математик · 1822–1901Доказал трансцендентность числа $e$ — и отказался браться за $\pi$, сказав, что не рискнёт; через девять лет это сделал Линдеман тем же методом. в 1873-м доказал трансцендентность $e$, Линдеман в 1882-м — трансцендентность $\pi$ (чем закрыл задачу о квадратуре круга). Кантор одной строкой показывает, что таких чисел почти все, — и ни одного не называет. Это первый громкий чисто экзистенциальный результат в математике, и КронекерЛеопольд Кронекернемецкий математик · 1823–1891«Бог создал целые числа, всё остальное — дело рук человеческих». Требовал, чтобы всякий объект строился за конечное число шагов, и травил Кантора за бесконечности — а сам оставил теоремы, без которых нет ни… именно за это его и невзлюбил.

Диагональный аргумент (1891)

Классическое доказательство несчётности $[0,1]$, которое обязано быть в каждом школьном кружке.

Предположим, что все числа отрезка занумерованы:

$$ \begin{aligned} x_{1} &= 0,\ a_{11}a_{12}a_{13}\ldots\\ x_{2} &= 0,\ a_{21}a_{22}a_{23}\ldots\\ x_{3} &= 0,\ a_{31}a_{32}a_{33}\ldots\\ &\ \vdots \end{aligned} $$

Построим число $y = 0,\,b_1b_2b_3\ldots$, положив $b_k = 5$, если $a_{kk}\ne5$, и $b_k=4$, если $a_{kk}=5$. (Цифры 4 и 5 выбраны, чтобы избежать проблем с записями вида $0{,}4999\ldots = 0{,}5000\ldots$)

Тогда $y \ne x_k$ для каждого $k$ — они различаются в $k$-м знаке. Значит, $y$ не попало в список, и список не был полным. $\blacksquare$

Теорема Кантора

$$|A| < |\mathcal{P}(A)| \qquad\text{для любого множества } A.$$

Доказательство — тот же диагональный приём: если $f:A\to\mathcal{P}(A)$, то множество $D=\{a\in A: a\notin f(a)\}$ не является значением $f$ ни при каком $a$.

Следствие: иерархия бесконечностей бесконечна. Нет «самой большой» бесконечности.

Обозначения: $|\mathbb{N}| = \aleph_0$, $|\mathbb{R}| = 2^{\aleph_0} = \mathfrak{c}$.

«Вижу, но не верю»

В 1877 году Кантор доказывает, что отрезок и квадрат равномощны: $|[0,1]| = |[0,1]^{2}|$. (Идея: перемешать десятичные разряды двух координат в одно число; техническая аккуратность требуется, но идея эта.)

Размерность, оказывается, не сохраняется при биекциях. Кантор писал ДедекиндуРихард Дедекинднемецкий математик · 1831–1916Определил действительное число через разрез рационального ряда и научил математику работать с бесконечными множествами как с объектами — сорок лет проработав учителем в родном Брауншвейге., что видит это, но не верит этому. Дедекинд успокоил его наблюдением, что построенное отображение не непрерывно, — и именно отсюда вырастет топологическая теория размерности (БрауэрЛёйтзен Брауэрнидерландский математик · 1881–1966За три года выдал топологии её рабочий арсенал, а потом объявил собственные доказательства незаконными и двадцать лет воевал с Гильбертом за право математики говорить только о том, что построено. докажет в 1911 году, что непрерывной биекции между $\mathbb{R}^n$ и $\mathbb{R}^m$ при $n\ne m$ не существует).

Континуум-гипотеза

Есть ли мощность строго между $\aleph_0$ и $\mathfrak{c}$? Кантор считал, что нет ($\mathfrak{c} = \aleph_1$), и потратил на доказательство годы.

Это первая проблема Гильберта (1900). Финал:

• ГёдельКурт Гёдельавстрийский и американский логик · 1906–1978Доказал, что в любой достаточно богатой формальной системе есть истинные утверждения, которые она не может доказать, — и тем закрыл программу Гильберта в двадцать пять лет. (1940): CH нельзя опровергнуть в ZFC.
• Коэн (1963, метод форсинга): CH нельзя доказать в ZFC.

Гипотеза независима от аксиом. Вопрос, на который Кантор положил жизнь, оказался не имеющим ответа в рамках имеющейся системы. Коэн получил за это Филдсовскую медаль — единственную в истории за работу по основаниям.

Сопротивление и болезнь

Леопольд Кронекер, влиятельнейший берлинский профессор и бывший учитель Кантора, был убеждён, что математика должна оперировать только конструктивно построенными объектами. Актуальную бесконечность он отвергал полностью, блокировал публикации Кантора и препятствовал его переходу из провинциального Галле в Берлин.

Кантор с 1884 года страдал тяжёлыми депрессивными эпизодами и неоднократно лечился в клинике; умер в 1918 году в лечебнице в Галле.

Честная оговорка. Романтическая версия «Кронекер свёл Кантора с ума» — упрощение, которого лучше избегать. Современные исследователи (в частности, Даубен) считают, что у Кантора было биполярное расстройство, эпизоды которого случались и в периоды научных триумфов, и что травля усугубляла состояние, но не была его причиной. Полезно проговорить это в классе: болезнь — не поэтическая метафора гениальности.

Реабилитация

ГильбертДавид Гильбертнемецкий математик · 1862–1943Человек, сделавший Гёттинген столицей математики и задавший ей повестку на весь XX век — двадцатью тремя проблемами и одной программой, которую сам же и не смог спасти. в 1926 году произнёс знаменитую фразу о том, что никто не изгонит нас из рая, созданного Кантором. К началу XX века теория множеств стала общим языком математики: анализ (Лебег), топология, алгебра, вероятность — все они формулируются в терминах множеств.

Заплатить пришлось парадоксами (РасселБертран Расселанглийский логик, философ и общественный деятель · 1872–1970Тремя строчками разрушил дело чужой жизни, десять лет чинил сломанное, а потом ушёл из математики в философию и политику — и получил Нобелевскую премию по литературе., 1901) и последующей аксиоматизацией (ЦермелоЭрнст Цермелонемецкий математик и логик · 1871–1953Доказательством на одну страницу вызвал самый громкий скандал в основаниях математики за век — и, отбиваясь от критиков, выписал теорию множеств списком аксиом. На этом списке математика стоит по сей день. — Френкель, 1908–1922) — но это уже линия оснований математики.

Следующая точка: Париж — новый интеграл, который наконец переживает предельные переходы.