Карта → событие
Интеграл Лебега
Три беды интеграла Римана
К концу XIX века стало ясно, что риманова конструкция, при всей её общности, не годится для нужд анализа.
Беда первая: слишком мало интегрируемых функций. Функция Дирихле $\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}$ не интегрируема по РимануБернхард РиманПрожил тридцать девять лет и оставил около десяти работ — из которых выросли современная геометрия, теория функций комплексного переменного и главная нерешённая задача математики.. Между тем «площадь под ней» очевидно должна быть нулём: рациональных чисел счётно, они «не занимают места».
Беда вторая: предельный переход не проходит. Занумеруем рациональные числа отрезка: $r_1, r_2, \ldots$ Положим
$$f_{n}(x) = \begin{cases}1, & x\in\{r_{1},\ldots,r_{n}\},\\ 0, & \text{иначе.}\end{cases}$$
Каждая $f_n$ интегрируема по Риману (конечное число точек разрыва), $\int_0^1 f_n = 0$. Но $f_n \to \mathbf{1}_{\mathbb{Q}}$ поточечно, а предел не интегрируем. Класс римановски интегрируемых функций не замкнут относительно поточечных пределов — а весь анализ построен на предельных переходах.
Беда третья, самая тяжёлая: нет полноты. Введём на множестве интегрируемых функций расстояние $\|f-g\| = \left(\int|f-g|^{2}\right)^{1/2}$. Оказывается, фундаментальная последовательность римановски интегрируемых функций может не иметь римановски интегрируемого предела. Пространство «дырявое» — как $\mathbb{Q}$ до ДедекиндаРихард ДедекиндОпределил действительное число через разрез рационального ряда и научил математику работать с бесконечными множествами как с объектами — сорок лет проработав учителем в родном Брауншвейге.. А значит, теорию рядов Фурье в нём построить нельзя: ряд сходится «куда-то», а этого «куда-то» в пространстве нет.
Требовалось ровно то же, что сделал Дедекинд с числами: заполнить дыры.
Мера
БорельЭмиль БорельПридумал меру, на которой стоит вся современная теория вероятностей, а потом ушёл в политику — был министром флота, депутатом и сидел в тюрьме при Виши. (1898) первым потребовал от «меры» счётной аддитивности: мера объединения счётного числа непересекающихся множеств равна сумме мер. Это ключевое требование, отличающее новую теорию от прежних попыток (ПеаноДжузеппе ПеаноАксиоматизировал натуральный ряд, векторное пространство и математическую запись — и построил кривую, которая проходит через каждую точку квадрата., ЖорданКамиль ЖорданНаписал книгу, после которой теорию Галуа стало возможно выучить, и доказал утверждение о том, что замкнутая кривая делит плоскость, — оказавшееся неожиданно трудным. работали с конечной аддитивностью).
Лебег (диссертация «Intégrale, longueur, aire», защищена в Сорбонне в 1902 году, напечатана в «Annali di Matematica») строит меру явно.
Внешняя мера:
$$\lambda^{*}(A) = \inf\left\{\sum_{k=1}^{\infty}|I_{k}| \;:\; A\subseteq\bigcup_{k=1}^{\infty}I_{k}\right\},$$
инфимум по всем покрытиям множества $A$ счётными наборами интервалов.
Измеримость (в форме, которую вскоре придаст Каратеодори): $A$ измеримо, если для любого $E$
$$\lambda^{*}(E) = \lambda^{*}(E\cap A) + \lambda^{*}(E\setminus A).$$
Проверка на $\mathbb{Q}$. Занумеруем рациональные числа и накроем $r_k$ интервалом длины $\varepsilon/2^{k}$. Суммарная длина покрытия $\sum_{k\geqslant1}\varepsilon/2^{k} = \varepsilon$. Так как $\varepsilon>0$ произвольно, $\lambda(\mathbb{Q}) = 0$.
Счётное множество имеет меру нуль. Более того, существуют несчётные множества меры нуль (канторово множество) — «много точек» и «много места» окончательно разошлись.
Интеграл
Идея. Риман режет область определения: разбивает $[a,b]$ на отрезки. Лебег режет область значений: разбивает ось ординат и спрашивает, какова мера множества тех $x$, где функция попадает в данный слой.
Формально: для простой функции $\varphi = \sum_{i} c_{i}\mathbf{1}_{A_{i}}$ полагаем
$$\int\varphi\,d\lambda = \sum_{i} c_{i}\,\lambda(A_{i}),$$
а для $f\geqslant0$ — супремум по всем простым функциям, не превосходящим $f$.
Эквивалентно и очень наглядно («горизонтальные слои»):
$$\int_{0}^{\infty} f\,d\lambda = \int_{0}^{\infty} \lambda\left(\{x : f(x) > t\}\right)\,dt.$$
Теперь $\int_0^1 \mathbf{1}_{\mathbb{Q}}\,d\lambda = 1\cdot\lambda(\mathbb{Q}\cap[0,1]) + 0\cdot\lambda(\text{иррациональные}) = 0$. Как и хотелось.
Метафора Лебега
Из его доклада 1926 года: должник вываливает на стол горсть монет. Можно брать монеты по очереди, в том порядке, как они лежат, прибавляя каждую к сумме, — это способ Римана. А можно сначала разложить их по достоинству, пересчитать, сколько монет каждого номинала, и сложить произведения, — это способ Лебега.
Второй способ выигрывает ровно тогда, когда монет много, а номиналов мало. Именно так устроены «плохие» функции: значений мало, а расположены они хаотично.
Главная теорема: предельный переход под знаком интеграла
Теорема Лебега о мажорируемой сходимости. Пусть $f_{n}\to f$ почти всюду и существует интегрируемая $g$ с $|f_{n}|\leqslant g$ для всех $n$. Тогда
$$\lim_{n\to\infty}\int f_{n}\,d\lambda = \int f\,d\lambda.$$
Это то, ради чего всё делалось. У Римана аналога нет вообще: там для перестановки предела и интеграла требуется равномерная сходимость — условие тяжёлое и в анализе редко выполняющееся. У Лебега достаточно поточечной сходимости плюс общая мажоранта.
Рядом — теорема Беппо Леви о монотонной сходимости ($0\leqslant f_n\uparrow f \Rightarrow \int f_n \uparrow \int f$) и лемма Фату ($\int\liminf f_n \leqslant \liminf\int f_n$).
Ещё одна жемчужина: теорема Лебега о дифференцировании — монотонная функция дифференцируема почти всюду. Это ответ монстру Вейерштрасса: нигде не дифференцируемая функция обязана быть немонотонной на каждом участке, то есть колебаться бесконечно часто.
Уточнение статуса интеграла Римана
Лебег заодно решил и вопрос, оставшийся от точки о Римане:
Ограниченная функция интегрируема по Риману тогда и только тогда, когда множество её точек разрыва имеет меру нуль.
И интегралы совпадают там, где оба существуют. Так что интеграл Лебега — честное расширение, а не альтернатива.
Выплата долга ФурьеЖозеф ФурьеУтверждал, что любую функцию можно сложить из синусов, — и был не прав ровно настолько, чтобы математике понадобилось сто лет и три новые теории, чтобы разобраться.
Теорема РиссаФридьеш РиссПостроил пространства функций, в которых предел ведёт себя как в обычном пространстве, и первым описал линейные функционалы через интеграл. — ФишераРональд ФишерПридумал почти всё, чем статистика пользуется сегодня, — дисперсионный анализ, рандомизацию, максимум правдоподобия, p-значение, — работая на сельскохозяйственной опытной станции. (1907), результат уже следующего поколения, но именно ради него всё строилось.
Пространство $L^{2}[-\pi,\pi]$ функций с интегрируемым квадратом полно относительно нормы $\|f\| = \left(\int|f|^{2}\right)^{1/2}$. Система $\{e^{inx}\}$ — ортогональный базис. Для любой $f\in L^{2}$:
- ряд Фурье сходится к $f$ в среднем квадратичном — всегда, без всяких условий;
- выполняется равенство Парсеваля:
$$\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|f(x)|^{2}dx = \sum_{n=-\infty}^{\infty}|c_{n}|^{2};$$ - соответствие $f \leftrightarrow (c_n)$ — изометрия между $L^{2}$ и $\ell^{2}$.
Утверждение Фурье 1807 года оказалось верным — но при правильно понятых словах «функция», «интеграл» и «сходится». Понадобилось ровно сто лет и вся цепочка от ДирихлеПетер Густав Лежён ДирихлеДал первое строгое условие сходимости ряда Фурье, нынешнее определение функции и способ доказывать теоремы теории чисел средствами анализа. до Лебега.
Финальные штрихи по сходимости почти всюду: КолмогоровАндрей Николаевич КолмогоровДал вероятности аксиомы, турбулентности — закон, сложности — определение, а школьной математике в СССР — программу, по которой учились миллионы. (1923, ему 19 лет) строит функцию из $L^1$ с всюду расходящимся рядом Фурье; КарлесонЛеннарт КарлесонДоказал гипотезу Лузина, которую пятьдесят лет считали ложной: ряд Фурье функции с интегрируемым квадратом сходится к ней почти всюду. Вопросу, заданному в 1807 году, было сто пятьдесят девять лет. (1966) доказывает, что для $L^2$ ряд сходится почти всюду; Хант (1968) распространяет на $L^p$ при $p>1$.
Цена: неизмеримые множества
Не всё множество можно измерить. Витали (1905) построил неизмеримое множество, используя аксиому выбора: на отрезке вводится отношение $x\sim y \iff x-y\in\mathbb{Q}$, и из каждого класса выбирается по представителю. Полученное множество не может иметь никакой меры, согласованной с инвариантностью относительно сдвига.
Апофеоз — парадокс БанахаСтефан БанахДал функциональному анализу аксиомы и имя, а математике — образ школы, работающей в кафе за столиком с мраморной столешницей. — ТарскогоАльфред ТарскийДал первое строгое определение слова «истинно» — и тут же доказал, что внутри самого языка такое определение невозможно; уехал из Польши за три недели до войны, читая доклад в Гарварде. (1924, Львов): шар можно разбить на конечное число частей и, двигая их как твёрдые тела, собрать два шара того же радиуса. Части, разумеется, неизмеримы.
Мораль: измеримость — не техническая формальность, а содержательное ограничение. Соловей (1970) показал, что без аксиомы выбора можно построить непротиворечивую теорию, где измеримы все множества, — так что выбор здесь буквально за нами.
Ирония
Лебег, создавший главный инструмент абстрактного анализа XX века, к дальнейшей абстракции относился с подозрением. Он критиковал слишком общие построения (в том числе банаховские) и говорил, что сведение всего к общим схемам стерилизует математику. Так бывает: революционеры редко узнают своих наследников.
Следующая точка: Львов — функция становится точкой.