Мемуар Фурье: любая функция — сумма синусов?

Человек

Жан-Батист Жозеф Фурье (1768–1830) — сирота, воспитанник бенедиктинцев, участник революции (едва не отправлен на гильотину), участник египетской экспедиции Наполеона и секретарь Египетского института, затем префект департамента Изер в Гренобле. Именно там, между осушением болот Бургуэна и строительством дороги на Турин, он в 1804–1807 годах занимается теорией тепла.

Из биографических деталей: он организовал разбор египетских древностей, и именно он привлёк к египтологии юного Жана-Франсуа Шампольона. Ещё: убеждённый, что тепло целебно, Фурье всю жизнь кутался и держал дома жару; умер, упав с лестницы.

Уравнение

$$\frac{\partial u}{\partial t} = a^{2}\,\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}.$$

Задача: стержень длины $\pi$, концы поддерживаются при нулевой температуре, начальное распределение $u(x,0)=f(x)$.

Метод разделения переменных. Ищем решения вида $u = X(x)T(t)$:

$$\frac{T'}{a^{2}T} = \frac{X''}{X} = -\lambda \ (\text{const}).$$

Из $X'' + \lambda X = 0$ с условиями $X(0)=X(\pi)=0$ получаем $\lambda = n^{2}$, $X_n = \sin nx$. Из $T' = -a^{2}n^{2}T$ — $T_n = e^{-a^{2}n^{2}t}$. Общее решение — суперпозиция:

$$u(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}\,e^{-a^{2}n^{2}t}\sin nx.$$

При $t=0$ это даёт условие

$$f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}\sin nx.$$

И вот здесь Фурье делает шаг, который взорвал математику: он объявляет, что так можно представить любую функцию.

Коэффициенты: трюк с ортогональностью

Как найти $b_n$? Фурье использует соотношение

$$\int_{0}^{\pi}\sin nx\,\sin mx\;dx = \begin{cases}0, & n\ne m,\\[2pt] \pi/2, & n=m.\end{cases}$$

(Проверяется мгновенно через $\sin\alpha\sin\beta = \tfrac12[\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)]$.)

Умножим обе части на $\sin mx$ и проинтегрируем. Все члены, кроме $m$-го, обнуляются:

$$\int_{0}^{\pi} f(x)\sin mx\;dx = b_{m}\cdot\frac{\pi}{2} \quad\Longrightarrow\quad b_{m} = \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} f(x)\sin mx\;dx.$$

Полный ряд на $[-\pi,\pi]$:

$$f(x) \sim \frac{a_{0}}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n}\cos nx + b_{n}\sin nx\right), \qquad \begin{aligned} a_{n} &= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos nx\,dx,\\ b_{n} &= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin nx\,dx. \end{aligned}$$

Знак $\sim$ вместо $=$ поставлен неспроста: сходится ли ряд к $f$ — отдельный тяжелейший вопрос, и именно он определит следующие сто пятьдесят лет.

Идея ортогональности, между прочим, — прямой предок скалярного произведения в гильбертовом пространстве: $\langle f, g\rangle = \int f g$, а $\{\sin nx\}$ — ортогональный базис. Из этого наблюдения вырастут Лебег и Банах.

Скандал: разрывная функция как сумма непрерывных

Возьмём «прямоугольную волну»: $f(x) = 1$ при $0<x<\pi$ и $f(x)=-1$ при $-\pi<x<0$. Считаем коэффициенты: $a_n = 0$ (функция нечётна), а

$$b_{n} = \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}\sin nx\,dx = \frac{2}{\pi}\cdot\frac{1-\cos n\pi}{n} = \begin{cases}\dfrac{4}{\pi n}, & n \text{ нечётно},\\ 0, & n \text{ чётно}.\end{cases}$$

$$f(x) = \frac{4}{\pi}\left(\sin x + \frac{\sin 3x}{3} + \frac{\sin 5x}{5} + \cdots\right).$$

Каждое слагаемое — бесконечно гладкая функция. Сумма — функция с разрывом.

Это прямо противоречило тому, что все считали очевидным (и что КошиОгюстен Луи Кошифранцузский математик · 1789–1857Первым потребовал от анализа доказательств вместо очевидности — и первым написал учебник, по которому это можно было выучить. в 1821 году даже «докажет» — Коши): сумма непрерывных функций непрерывна. Разрешение придёт с понятием равномерной сходимости: здесь сходимость есть, но неравномерная (Вейерштрасс).

Кстати, при $x=\pi/2$ эта формула даёт $\dfrac{\pi}{4} = 1 - \dfrac13 + \dfrac15 - \cdots$ — ряд МадхавыМадхава из Сангамаграмыиндийский математик и астроном · около 1340 — около 1425Получил ряды для арктангенса, синуса и косинуса за триста лет до Тейлора и Лейбница, посчитал π с одиннадцатью верными знаками — и всё это в Керале, откуда результаты в Европу не дошли., Грегори и ЛейбницаГотфрид Вильгельм Лейбницнемецкий философ, математик и дипломат · 1646–1716Придумал знаки $d$ и $\int$, которыми мы пишем анализ до сих пор, — и всю жизнь искал язык, на котором спор можно было бы заканчивать словами «посчитаем». выпадает как побочный продукт.

Явление Гиббса. Частичные суммы вблизи разрыва «перелетают» примерно на 9% скачка, и этот перелёт не уменьшается с ростом числа членов — только сужается по ширине. Обнаружено Уилбрэмом (1848), переоткрыто и объяснено Гиббсом (1899). Точная величина перескока: $\dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{0}^{\pi}\frac{\sin t}{t}dt - \frac12 \approx 0{,}0895$ от скачка.

Комиссия

Уточнение факта. Мемуар был доложен Институту Франции 21 декабря 1807 года, и комиссия состояла из ЛагранжаЖозеф Луи Лагранжфранцузский математик и механик итальянского происхождения · 1736–1813Написал механику без единого чертежа, довёл до конца всё, что начали Эйлер и Ферма, и первым понял, что решаемость уравнения зависит от перестановок его корней., ЛапласаПьер-Симон Лапласфранцузский математик, астроном и физик · 1749–1827Свёл небесную механику в пять томов, а теорию вероятностей — в один, и на полтора столетия задал образ мира, в котором будущее вычисляется из настоящего., МонжаГаспар Монжфранцузский математик, государственный деятель · 1746–1818Восемнадцатилетним решил чертежом за часы задачу, на которую уходили сутки арифметики, — и метод немедленно засекретили. Основал Политехническую школу, из которой вышла вся французская математика XIX века. и Лакруа. ЛежандраАдриен Мари Лежандрфранцузский математик · 1752–1833Первым напечатал метод наименьших квадратов, первым сформулировал закон распределения простых чисел — и в обоих случаях приоритет у него оспорил Гаусс. в ней не было — он входил в жюри конкурса 1811 года (вместе с Лагранжем, Лапласом, Малюсом и Гаюи), где Фурье получил премию.

Возражения были двух сортов:

1. Лагранж и Лаплас не приняли разложение произвольных функций в тригонометрические ряды. Лагранж возражал особенно упорно — и по личным причинам тоже: полувеком раньше он сам участвовал в споре о струне и занял позицию, которую результат Фурье опровергал.
2. Био обвинил Фурье в некорректном выводе уравнения переноса тепла и в непризнании собственного приоритета (работа Био 1804 года, которая, впрочем, содержала ошибку).

Мемуар не был напечатан. Даже премию 1811 года сопроводили оговоркой о недостаточной строгости. Полный текст — «Théorie analytique de la chaleur» — вышел только в 1822 году, когда Фурье стал непременным секретарём Академии и мог напечатать себя сам.

Предыстория: спор о струне

Корни спора уходят в 1747 год. ДаламберЖан Лерон Даламберфранцузский математик, механик и энциклопедист · 1717–1783Подкидыш с паперти, ставший соредактором «Энциклопедии»; вывел уравнение колеблющейся струны — и начал спор, из которого через сто лет вышло понятие функции. решает уравнение колеблющейся струны $u_{tt}=c^{2}u_{xx}$ и получает $u = \varphi(x-ct)+\psi(x+ct)$. ЭйлерЛеонард Эйлершвейцарский математик, работавший в Петербурге и Берлине · 1707–1783Самый плодовитый математик в истории: около 900 работ, половина языка современной математики — от знака $\pi$ до записи $f(x)$ — и способность считать, не глядя. возражает: начальная форма струны может быть какой угодно, в том числе с изломом (защипнутая струна), а «функция» по тогдашним понятиям — это формула. Даниил БернуллиБернуллишвейцарская династия математиков · XVII–XVIII векаВосемь математиков в трёх поколениях одной базельской семьи — и почти столько же ссор между ними; на их фамилию приходится закон больших чисел, вариационное исчисление и уравнение гидродинамики. (1753) предлагает решение в виде суммы синусов — фактически ряд Фурье за полвека до Фурье, — и его не слушают: как может сумма гладких синусоид дать ломаную?

Спор трёх крупнейших математиков века упёрся в вопрос что такое функция — и остался нерешённым. Фурье поставил его заново, но с такой силой, что уклониться уже было нельзя.

Что из этого выросло

Именно попытки понять, для каких функций Фурье прав, породили значительную часть современной математики:

• ДирихлеПетер Густав Лежён Дирихленемецкий математик · 1805–1859Дал первое строгое условие сходимости ряда Фурье, нынешнее определение функции и способ доказывать теоремы теории чисел средствами анализа. (1829): первое строгое условие сходимости. Если $f$ кусочно-монотонна и имеет конечное число разрывов, ряд сходится к $\dfrac{f(x-0)+f(x+0)}{2}$. Он же в 1837-м даёт современное определение функции как произвольного соответствия — и приводит пример $\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}$, для которого его же теория не работает.
• РиманБернхард Риманнемецкий математик · 1826–1866Прожил тридцать девять лет и оставил около десяти работ — из которых выросли современная геометрия, теория функций комплексного переменного и главная нерешённая задача математики. (1854): чтобы понять, что такое $\int f\sin nx\,dx$ для диких $f$, нужно определение интеграла.
• КанторГеорг Канторнемецкий математик · 1845–1918Показал, что бесконечности бывают разного размера, — и потратил остаток жизни на защиту этого результата от коллег и на попытки доказать одно-единственное утверждение, которое доказать нельзя. (1872): чтобы понять, на каких множествах разложение единственно, нужна теория множеств.
• ЛебегАнри Лебегфранцузский математик · 1875–1941Предложил считать интеграл, разрезая не ось абсцисс, а ось значений, — и получил теорию, в которой предел и интеграл наконец можно менять местами. (1902): чтобы получить нормальную теорию, нужна мера.
• РиссФридьеш Риссвенгерский математик · 1880–1956Построил пространства функций, в которых предел ведёт себя как в обычном пространстве, и первым описал линейные функционалы через интеграл. и ФишерРональд Фишеранглийский статистик и генетик · 1890–1962Придумал почти всё, чем статистика пользуется сегодня, — дисперсионный анализ, рандомизацию, максимум правдоподобия, p-значение, — работая на сельскохозяйственной опытной станции. (1907): наконец правильный ответ — для функций из $L^{2}$ ряд сходится в среднем квадратичном, всегда, и $\|f\|^{2}=\sum|c_n|^{2}$.
• КолмогоровАндрей Николаевич Колмогороврусский и советский математик · 1903–1987Дал вероятности аксиомы, турбулентности — закон, сложности — определение, а школьной математике в СССР — программу, по которой учились миллионы. (1923): существует функция из $L^{1}$, ряд Фурье которой расходится всюду. Ему был 19 лет.
• КарлесонЛеннарт Карлесоншведский математик · род. 1928Доказал гипотезу Лузина, которую пятьдесят лет считали ложной: ряд Фурье функции с интегрируемым квадратом сходится к ней почти всюду. Вопросу, заданному в 1807 году, было сто пятьдесят девять лет. (1966): для функций из $L^{2}$ ряд сходится почти всюду. Задача 1807 года закрыта в 1966-м.

Эта точка — начало самой длинной сквозной нити на карте, и, пожалуй, лучший в истории математики пример того, как физическая задача перестраивает всю чистую математику под себя.

Следующая точка: Прага — человек, который начал наводить строгость раньше всех и остался незамеченным.