Поиск

Карта → персоналии → биография

1845–1918 немецкий математик

Георг Кантор

Georg Cantor

Георг Кантор. Из фотоальбома, поднесённого Вейерштрассу
Георг Кантор. Из фотоальбома, поднесённого Вейерштрассу Otto Zeth · Public domain

Показал, что бесконечности бывают разного размера, — и потратил остаток жизни на защиту этого результата от коллег и на попытки доказать одно-единственное утверждение, которое доказать нельзя.

Кантор начинал не с бесконечности. Он занимался вполне обычным вопросом: если функция раскладывается в тригонометрический ряд, то единственным ли образом? Ответ потребовал разбираться с множеством точек, где ряд ведёт себя плохо, — и из этого выросла теория множеств.

Галле

Родился в Петербурге в семье коммерсанта, вырос в Германии. Учился в Берлине у Вейерштрасса, Куммера и Кронекера, с 1869 года и до конца — в маленьком университете Галле. В Берлин, куда он всю жизнь хотел, его не позвали ни разу, и главным препятствием был Леопольд Кронекер — бывший учитель, ставший непримиримым противником.

Кронекер считал, что математика имеет право говорить только о том, что можно построить за конечное число шагов. «Бог создал целые числа, всё остальное — дело рук человеческих». Канторовы бесконечные множества были для него не ошибкой, а порчей.

Диагональ

В 1874 году Кантор доказал, что алгебраических чисел столько же, сколько натуральных, а всех действительных — больше. Значит, трансцендентные числа существуют, и их подавляющее большинство, — при том что предъявить хоть одно тогда умели с трудом.

В 1891 году появился диагональный приём, которым это доказывается в две строки и который с тех пор используют везде — от теоремы Гёделя до неразрешимости проблемы остановки. Пусть выписан любой список действительных чисел; построим число, отличающееся от $n$-го в $n$-м знаке. Его в списке нет.

Ещё один его результат: точек в квадрате столько же, сколько на отрезке. Дедекинду, единственному, кто его всё это время поддерживал, Кантор написал: «Я вижу это, но не верю этому». Через восемнадцать лет Пеано построит непрерывную кривую, заполняющую квадрат, и станет ясно, что интуиция о размерности требует ремонта.

Континуум-гипотеза

Между мощностью натурального ряда и мощностью континуума нет промежуточной — так Кантор считал и так и не смог доказать. Это первая проблема из гильбертовского списка.

Ответ оказался ошеломляющим: Гёдель (1940) и Коэн (1963) показали, что гипотезу нельзя ни доказать, ни опровергнуть из обычных аксиом. Вопрос не имеет ответа — не потому что мы не доросли, а потому что аксиомы его не определяют.

Конец

С 1884 года у Кантора начались тяжёлые депрессии; последние десятилетия он больше занимался богословием и доказательством того, что пьесы Шекспира написал Бэкон. Умер в психиатрической лечебнице Галле в голодном 1918 году.

Гильберт сказал о его теории: «Никто не изгонит нас из рая, который создал Кантор». К тому времени спорить было уже не о чем — теория множеств стала языком, на котором математика говорит о себе.

Точки на карте

Где имя встречается в статьях: сначала точки, где этот человек — главный герой, дальше по хронологии.

Все персоналии