Лузитания: гипотеза Лузина

Учитель

Дмитрий Фёдорович Егоров (1869–1931) — профессор Московского университета, человек, с которого начинается московская математическая школа. Его именем названа теорема 1911 года, которую сегодня знает всякий, кто слушал курс теории меры:

Теорема Егорова. Если последовательность измеримых функций $f_n$ сходится к $f$ почти всюду на множестве конечной меры $E$, то для любого $\delta>0$ найдётся $E_\delta\subset E$ с $\mu(E\setminus E_\delta)<\delta$, на котором сходимость равномерна.

Содержательно: сходимость почти всюду — это равномерная сходимость, если согласиться выбросить множество сколь угодно малой меры. Вместе с C-свойством Лузина (1912) — «измеримая функция непрерывна, если выбросить множество малой меры» — это два из трёх «принципов Литлвуда», на которых держится вся практическая работа с измеримыми функциями.

Обе теоремы — про одно и то же: мера позволяет менять «плохо всюду» на «хорошо почти всюду», и это оказывается достаточно.

Учитель учителя

Школа начинается с Егорова — но воздух, которым она дышала, создал его собственный учитель.

Николай Васильевич Бугаев (1837–1903) — профессор Московского университета, с 1891 года и до смерти президент Московского математического общества. Кроме работ по теории чисел и по разложениям функций он занимался тем, что называл аритмологией: теорией прерывных функций, поднятой до мировоззрения.

Мысль была такая. Весь XIX век математика работала с непрерывным — анализ, механика, небесные орбиты. Из этого складывалось «аналитическое мировоззрение», в котором всё плавно перетекает одно в другое, а значит, всё предопределено. Бугаев противопоставлял ему прерывное: разрывные функции, теорию чисел, скачок. Мир не сплошной; в нём есть места, где предыдущее не определяет следующего, — и туда, по Бугаеву, помещается свобода.

Как математика аритмология дала немного. Как установка — очень много: она приучила московских математиков считать разрывное и «патологическое» не досадным исключением, а законным предметом. Через десять лет после смерти Бугаева его ученики будут спокойно работать с объектами, от которых французские аналитики отшатывались.

Из того же круга вышел Павел Александрович Флоренский (1882–1937) — тот самый товарищ Лузина по университету. Он окончил математическое отделение в 1904 году с кандидатским сочинением о точках нарушения непрерывности плоских кривых, то есть прямо по бугаевской программе, и математиком остался по способу думать: его «Мнимости в геометрии» (1922) — попытка приспособить комплексную плоскость к дантовской космологии. Книга по нынешним меркам невозможная, но написанная человеком, который умеет считать. Расстрелян в 1937 году.

Спорный, но важный сюжет. Егоров и Флоренский были близки к имяславию — движению, для которого имя не обозначает предмет со стороны, а несёт его присутствие: называние есть действие. Лорен Грэхэм и Жан-Мишель Кантор в книге «Наименование бесконечности» (2009) предположили, что этот опыт помог москвичам там, где остановились французы. БорельЭмиль Борельфранцузский математик, министр и участник Сопротивления · 1871–1956Придумал меру, на которой стоит вся современная теория вероятностей, а потом ушёл в политику — был министром флота, депутатом и сидел в тюрьме при Виши., ЛебегАнри Лебегфранцузский математик · 1875–1941Предложил считать интеграл, разрезая не ось абсцисс, а ось значений, — и получил теорию, в которой предел и интеграл наконец можно менять местами. и Бэр, создав теорию меры, испугались собственного создания и отказывались признавать объекты, которые нельзя предъявить явно. У москвичей такого затруднения не было: назвать множество — значит начать с ним работать, а существует оно или нет, выяснится потом. Отсюда, по этой версии, и дескриптивная теория множеств.

Тезис оспаривается, и относиться к нему стоит как к гипотезе, а не как к объяснению: слишком легко из него сделать вывод, что мистика полезна математике. Проверяемо и верно в нём одно — религиозность Егорова не была частным делом, за неё его в 1930 году и арестовали.

Есть у этой семьи и совсем другое продолжение. Сын Н. В. Бугаева, Борис Николаевич, окончил то же естественное отделение физмата в 1903 году — в год смерти отца, — а прославился под именем Андрея Белого. И первым в России начал считать стихи: об этом точка о Маркове и «Онегине».

Ученик

Николай Николаевич Лузин (1883–1950) пришёл к математике не сразу: около 1905–1908 годов он переживает тяжёлый кризис, думает бросить занятия и пишет об этом Павлу Флоренскому, товарищу по университету. Егоров удержал его в науке. Годы 1910–1914 Лузин проводит в Гёттингене и Париже, где слушает Бореля и Лебега, — французская теория меры приходит в Москву через него лично.

В 1915 году выходит его диссертация:

«Интеграл и тригонометрический ряд», Москва, 1915.

По итогам защиты ему сразу присуждают степень доктора чистой математики, минуя магистерскую. В этой работе, среди прочего, сформулирована

Гипотеза Лузина. Ряд ФурьеЖозеф Фурьефранцузский математик, физик и префект Изера · 1768–1830Утверждал, что любую функцию можно сложить из синусов, — и был не прав ровно настолько, чтобы математике понадобилось сто лет и три новые теории, чтобы разобраться. всякой функции из $L^{2}$ сходится к ней почти всюду.

Гипотеза проживёт пятьдесят один год и будет доказана Карлесоном. Почти всё это время в неё не верили — и первый удар нанёс ученик самого Лузина (Колмогоров).

Школа

Вокруг Егорова и Лузина складывается кружок, который студенты сами прозвали «Лузитанией» — по недавно потопленному лайнеру, с той долей иронии, какая бывает у двадцатилетних. Годы расцвета — примерно 1914–1924.

Через него прошли: АлександровПавел Сергеевич Александровсоветский математик · 1896–1982Создал московскую топологическую школу и вместе с Урысоном — теорию компактных пространств; ввёл в обиход гомологические группы, услышав идею от Эмми Нётер., Урысон, Суслин, Меньшов, ХинчинАлександр Яковлевич Хинчинсоветский математик · 1894–1959Дал теории случайных процессов язык, на котором с тех пор говорят обработка сигналов и анализ временных рядов, — и написал книгу, в которой теоремы Шеннона впервые доказаны математически строго., Бари, Люстерник, Шнирельман, Лаврентьев, П. С. НовиковПётр Сергеевич Новиковсоветский математик · 1901–1975Перенёс неразрешимость из оснований математики в обычную алгебру: доказал, что нет алгоритма, распознающего равенство двух слов в группе. Отец С. П. Новикова, с которым его постоянно путают., КолмогоровАндрей Николаевич Колмогороврусский и советский математик · 1903–1987Дал вероятности аксиомы, турбулентности — закон, сложности — определение, а школьной математике в СССР — программу, по которой учились миллионы., Гельфонд. Список стоит перечитать: из одного московского семинара вышли основатели советской топологии, теории вероятностей, теории чисел, функционального анализа и дескриптивной теории множеств.

Устройство было простое и, по свидетельствам, довольно жёсткое: задачи раздавались студентам поимённо, докладывали младшие, спрашивали строго.

Что Лузитания сделала для этой линии

1. Нуль-ряд Меньшова (1916).

Дмитрий Меньшов, ученик Лузина, строит тригонометрический ряд, у которого не все коэффициенты нулевые, но который сходится к нулю почти всюду.

Чтобы понять цену этого примера, надо вернуться к точке о Канторе. Кантор в 1870 году доказал теорему единственности: если тригонометрический ряд сходится к нулю всюду, все его коэффициенты равны нулю. Именно из попыток ослабить это «всюду» и родилась теория множеств.

Меньшов показал, где стоит стена: заменить «всюду» на «почти всюду» нельзя. Множества, выбрасывание которых сохраняет единственность (их называют U-множествами, множествами единственности), — не просто множества меры нуль, а гораздо более тонкий класс.

Насколько тонкий, видно из результата, который стоит рассказать хотя бы ради удовольствия. Возьмём канторово множество с коэффициентом $\xi$ — то, что получается выбрасыванием средних долей так, что оставшиеся отрезки в $\xi$ раз короче. Салем и Зигмунд доказали: оно является множеством единственности тогда и только тогда, когда $1/\xi$ — число Пизо (алгебраическое целое больше единицы, все сопряжённые которого по модулю меньше единицы). Классическое канторово множество ($\xi=1/3$, $1/\xi=3$) единственность сохраняет. Вопрос о рядах Фурье оказался вопросом теории чисел — на такое не рассчитывал никто.

2. А-множества Суслина (1917).

Михаил Суслин, студент, читая мемуар Лебега 1905 года, находит ошибку: Лебег утверждал, что проекция борелевского множества борелевская. Суслин строит контрпример и вводит новый класс — аналитические множества (A-множества), получаемые проектированием. Так рождается дескриптивная теория множеств — дисциплина, в которой Лузин и его ученики будут лидировать двадцать лет.

Лебег впоследствии заметил, что эта его ошибка оказалась плодотворнее иных верных теорем. Суслин умер от тифа в 1919 году, в двадцать пять лет.

3. Нина Бари.

Нина Карловна Бари (1901–1961) — одна из первых женщин, окончивших Московский университет по математике (1921), докторская — 1935. Её монография «Тригонометрические ряды» (1961) — свыше девятисот страниц — до сих пор остаётся основным справочником по предмету этой нити. Погибла в 1961 году, попав под поезд в московском метро.

Почему точка стоит именно здесь

Между Риссом и Фишером (1907) и Львовом (1920) есть момент, который легко пропустить: теория меры перестаёт быть французским изобретением и становится школой. Из неё немедленно вырастают три ветви — теория функций, дескриптивная теория множеств и теория вероятностей, — и все три пойдут по карте дальше в разные линии.

Это же и точка, где линия анализа физически пересекается с линией топологии (Александров и Урысон, Москва, 1922) и с линией вероятностей (Колмогоров, 1933): не по идеям, а по людям, сидевшим на одном семинаре.

Разрыв

История школы кончается тяжело, и умолчать об этом нельзя.

В 1930 году арестован Егоров — как верующий и председатель Московского математического общества. Он умер в 1931 году в тюремной больнице Казани после голодовки.

В июле 1936 года «Правда» публикует статьи против Лузина, в том числе «О врагах в советской маске»; создаётся комиссия Академии наук. Обвинения — публикация лучших работ за границей, завышенные отзывы, вредительство в науке. Среди выступавших против были его собственные ученики. Лузин сохранил звание академика, но был публично осуждён; отношения внутри школы оказались сломаны непоправимо.

Стенограммы комиссии опубликованы только в конце 1990-х. Оценки этой истории расходятся до сих пор — и осторожность здесь уместнее приговора: слишком многое в ней объясняется временем, а не характерами.

Математика, впрочем, уцелела вся. Люди, поссорившиеся в 1936 году, к тому времени уже успели создать половину того, о чём рассказывает эта карта.

Следующая точка: Львов, 1920 — та же мысль (функция как точка пространства) в другой стране и с совершенно другим темпераментом.