Хаар: простейший базис — и мера для пятой проблемы

Вопрос ГильбертаДавид Гильбертнемецкий математик · 1862–1943Человек, сделавший Гёттинген столицей математики и задавший ей повестку на весь XX век — двадцатью тремя проблемами и одной программой, которую сам же и не смог спасти.

К 1900 году было известно неприятное: ряд Фурье непрерывной функции может расходиться в точке (пример дю Буа-Реймона, 1873). Гильберт поставил своему ученику вопрос:

Существует ли ортонормированная система, в которой разложение всякой непрерывной функции сходится равномерно?

Альфред Хаар ответил в диссертации 1909 года: существует. И построил пример настолько простой, что его можно нарисовать мелом.

Система из ступенек

Берём функцию, равную $+1$ на левой половине отрезка и $-1$ на правой:

$$\psi(x)=\begin{cases}+1,&0\leqslant x<1/2,\\[2pt]-1,&1/2\leqslant x<1,\end{cases}$$

и добавляем к постоянной все её сжатые и сдвинутые копии:

$$\psi_{j,k}(x)=2^{j/2}\,\psi\big(2^{j}x-k\big),\qquad j\geqslant0,\quad 0\leqslant k<2^{j}.$$

Ортонормированность проверяется взглядом: две такие функции либо живут на непересекающихся отрезках, либо одна постоянна там, где вторая меняет знак, — и в обоих случаях интеграл произведения равен нулю. Множитель $2^{j/2}$ уравнивает нормы. Вместе они образуют базис пространства $L^{2}[0,1]$ — и разложение непрерывной функции по ним действительно сходится равномерно.

Никаких специальных функций, никаких формул: ступеньки.

Чем это отличается от ФурьеЖозеф Фурьефранцузский математик, физик и префект Изера · 1768–1830Утверждал, что любую функцию можно сложить из синусов, — и был не прав ровно настолько, чтобы математике понадобилось сто лет и три новые теории, чтобы разобраться.

Ключевое слово — место.

Коэффициент Фурье есть интеграл по всему отрезку: измените функцию возле одной точки, и изменятся все коэффициенты. Коэффициент Хаара $\langle f,\psi_{j,k}\rangle$ — интеграл по одному двоичному отрезку длины $2^{-j}$: он знает только про этот кусок и ничего про остальные.

Отсюда практический вывод, которого в 1910 году сделать было некому. Фотография — это гладкие куски, разделённые резкими границами. В базисе Фурье каждая граница отзывается во всех коэффициентах; в базисе Хаара — в немногих. Именно поэтому изображения сжимаются в таких базисах, а не в тригонометрическом.

Хаар строил свою систему, отвечая на вопрос о равномерной сходимости. Через семьдесят лет выяснится, что он построил первый вейвлет (по-русски всплеск), и Добеши начнёт ровно отсюда.

Двадцать три года спустя: мера

Сегед, 1933. Работа «Der Massbegriff in der Theorie der kontinuierlichen Gruppen»: на локально компактной группе существует мера, инвариантная относительно сдвигов, и она единственна с точностью до множителя:

$$\int_{G}f(gx)\,d\mu(x)=\int_{G}f(x)\,d\mu(x)\qquad\text{для всех } g\in G.$$

На прямой это мера ЛебегаАнри Лебегфранцузский математик · 1875–1941Предложил считать интеграл, разрезая не ось абсцисс, а ось значений, — и получил теорию, в которой предел и интеграл наконец можно менять местами., на окружности — длина дуги, на конечной группе — счёт элементов. Существенно то, что она есть на всякой такой группе.

Последствия не заставили себя ждать.

В том же 1933 году фон НейманДжон фон Нейманвенгеро-американский математик · 1903–1957Аксиоматизировал квантовую механику, основал теорию игр, придумал архитектуру компьютера и метод Монте-Карло — и всё это, по мнению современников, не напрягаясь. решает с её помощью пятую проблему Гильберта для компактных групп: непрерывная группа, о гладкости которой ничего не предполагалось, автоматически оказывается группой Ли. Общий локально компактный случай закроют Глисон, Монтгомери и Циппин в 1952-м.

И вообще без меры Хаара не было бы гармонического анализа на группах. Интегрировать не по чему — значит, нет ни преобразования Фурье на группе, ни двойственности Понтрягина, ни теоремы Гельфанда — Райкова о представлениях.

Сегед

После Трианонского договора венгерский университет Коложвара остался без города — Коложвар стал румынским Клужем. В 1921 году университет переехал в Сегед, и туда приехали Хаар и Фридьеш РиссФридьеш Риссвенгерский математик · 1880–1956Построил пространства функций, в которых предел ведёт себя как в обычном пространстве, и первым описал линейные функционалы через интеграл., тот самый. На пустом месте они за несколько лет создали математический центр мирового уровня и в 1922-м основали журнал «Acta Scientiarum Mathematicarum», который быстро стал первоклассным. Редкий случай, когда вынужденный переезд породил школу.

Хаар умер в марте 1933 года, сорока семи лет, через несколько месяцев после работы о мере — и не узнал ни того, что из неё немедленно вышло, ни того, во что через полвека превратятся его ступеньки.

Следующая точка: Вена — теорема с четырьмя авторами в трёх городах.