Гельфанд: банаховы алгебры и C*-алгебры

Вопрос: можно ли определить спектр, не упоминая операторов

К концу 1930-х спектр умели определять так: число $\lambda$ принадлежит спектру оператора $A$, если $A-\lambda I$ не имеет ограниченного обратного. Определение опирается на то, что $A$ действует в каком-то пространстве.

Гельфанд замечает: пространство лишнее. В определении используется только то, что операторы можно складывать, умножать друг на друга и измерять их норму. Значит, спектр есть у элемента любой структуры с такими свойствами.

Нормированное кольцо

Банахова алгебра (Гельфанд говорил «нормированное кольцо») — это банахово пространство $A$, в котором определено умножение, согласованное с нормой:

$$\|ab\|\leqslant\|a\|\cdot\|b\|.$$

Всё. Три строки аксиом — и вот что под них попадает:

Алгебра	Умножение	Что это на самом деле
$C(K)$ — непрерывные функции на компакте	поточечное	«геометрия»
$\ell^{1}(\mathbb{Z})$ — суммируемые последовательности	свёртка	абсолютно сходящиеся ряды ФурьеЖозеф Фурьефранцузский математик, физик и префект Изера · 1768–1830Утверждал, что любую функцию можно сложить из синусов, — и был не прав ровно настолько, чтобы математике понадобилось сто лет и три новые теории, чтобы разобраться.
$L^{1}(\mathbb{R})$	свёртка	гармонический анализ
ограниченные операторы в $H$	композиция	квантовая механика
функции, аналитические в круге	поточечное	комплексный анализ

Спектр элемента определяется чисто алгебраически: $\lambda\in\sigma(a)$, если $a-\lambda e$ необратим в $A$. Дальше Гельфанд доказывает, что спектр непуст и компактен, и получает формулу для спектрального радиуса

$$r(a)=\lim_{n\to\infty}\|a^{n}\|^{1/n},$$

в которой слева — чисто алгебраическая величина, а справа — чисто метрическая. Такие тождества и составляют содержание теории.

Главный ход: максимальные идеалы

Пусть алгебра коммутативна. Каждому максимальному идеалу $\mathfrak{m}\subset A$ отвечает характер — ненулевой линейный функционал $\chi$, сохраняющий умножение: $\chi(ab)=\chi(a)\chi(b)$. (Здесь работает лемма Гельфанда — Мазура: если в банаховой алгебре над $\mathbb{C}$ все ненулевые элементы обратимы, то она есть сама $\mathbb{C}$.)

Множество всех характеров $\mathfrak{M}$ со слабой топологией оказывается компактом. И теперь каждому элементу алгебры сопоставляется функция на этом компакте:

$$\boxed{\;\hat a(\chi)=\chi(a),\qquad a\mapsto\hat a\in C(\mathfrak{M}).\;}$$

Это преобразование Гельфанда. Оно превращает абстрактную алгебру в алгебру функций, а спектр элемента — в множество значений соответствующей функции:

$$\sigma(a)=\hat a\,(\mathfrak{M}).$$

Следствие, которым пользуются постоянно: элемент обратим тогда и только тогда, когда его функция нигде не обращается в нуль.

Теорема Винера в одну страницу

Вот демонстрация, ставшая хрестоматийной.

Теорема Винера (1932). Если функция $f(x)=\sum_{n}c_{n}e^{inx}$ с $\sum|c_{n}|<\infty$ нигде не обращается в нуль, то $1/f$ тоже разлагается в абсолютно сходящийся ряд Фурье.

Винер доказывал это несколькими страницами тяжёлого анализа. У Гельфанда рассуждение такое.

Функции с абсолютно сходящимся рядом Фурье образуют банахову алгебру $A(\mathbb{T})$ — это в точности $\ell^{1}(\mathbb{Z})$ со свёрткой. Надо найти её характеры. Характер определяется значением на одном элементе $e^{ix}$; это значение по модулю равно единице, значит, характер — это вычисление в точке окружности, и других характеров нет. Итак, $\mathfrak{M}=\mathbb{T}$, преобразование Гельфанда есть тождественное отображение $f\mapsto f$, и по общей теореме:

$$f \text{ обратима в } A(\mathbb{T})\iff f(x)\ne0 \text{ всюду.}$$

А обратимость в $A(\mathbb{T})$ и означает, что $1/f$ лежит в $A(\mathbb{T})$. Всё.

Что здесь произошло. Трудность исходной задачи была в оценках; она исчезла, потому что задачу перевели на язык, где она тривиальна. Это и есть образцовая демонстрация силы абстрактного метода — та самая, которой обычно объясняют студенту, зачем нужен функциональный анализ.

Дальше: инволюция

Если в алгебре есть ещё и операция сопряжения $a\mapsto a^{*}$ с тождеством $\|a^{*}a\|=\|a\|^{2}$, получается C*-алгебра. Теорема Гельфанда — Наймарка 1943 года говорит, что коммутативные C*-алгебры — это в точности алгебры $C(X)$, а некоммутативные — в точности замкнутые алгебры операторов. Этому сюжету и тому, что из него выросло, посвящена отдельная точка на алгебраической линии.

Тогда же, в 1943 году, Гельфанд и Райков доказывают, что у всякой локально компактной группы достаточно неприводимых унитарных представлений, чтобы различать её элементы. Здесь алгебраическая линия карты — характеры Фробениуса, двойственность Понтрягина — впадает в функционально-аналитическую: для непрерывных групп теория представлений обязана быть бесконечномерной, а значит, аналитической.

Семинар

Семинар Гельфанда в МГУ работал по понедельникам с 1943 года до его отъезда в 1989-м — вероятно, самый долгоживущий математический семинар XX века и уж точно самый своеобразный. Начинался он на час-полтора позже объявленного; докладчика могли прервать на первой фразе; Гельфанд пересказывал доклад сам, объясняя докладчику, что тот на самом деле сделал. Через семинар прошли несколько поколений — от Кириллова и Березина до тех, кто сегодня работает по всему миру.

Гельфанд же в 1964 году основал Всесоюзную заочную математическую школу — механизм, благодаря которому школьник из любого посёлка мог получать задания и разбор своих решений по почте. Для учителя математики это, может быть, самое важное, что он сделал.

Человек

Израиль Моисеевич Гельфанд (1913–2009) родился в местечке под Одессой, школу не окончил, в шестнадцать лет приехал в Москву без образования и работал вахтёром в Ленинской библиотеке — что давало возможность читать. Ходил на лекции; в девятнадцать был принят в аспирантуру к КолмогоровуАндрей Николаевич Колмогороврусский и советский математик · 1903–1987Дал вероятности аксиомы, турбулентности — закон, сложности — определение, а школьной математике в СССР — программу, по которой учились миллионы., не имея диплома.

Круг его работ впоследствии оказался почти неправдоподобно широким: обобщённые функции (пятитомник с Г. Е. Шиловым — параллель теории распределений), обратная задача ШтурмаЖак Шарль Франсуа Штурмфранцузский математик швейцарского происхождения · 1803–1855Первым измерил скорость звука в воде — ударом в подводный колокол на Женевском озере, — а потом вместе с Лиувиллем обнаружил, что у колеблющейся струны решения существуют лишь при избранных значениях. Гильберт… — ЛиувилляЖозеф Лиувилльфранцузский математик · 1809–1882Первым предъявил трансцендентное число — построил его, а не доказал, что такие «должны существовать». И спас Галуа: разобрал рукописи, четырнадцать лет пролежавшие без движения, и напечатал их. вместе с Б. М. Левитаном, из которой позже вырос метод обратной задачи рассеяния, интегральная геометрия, представления групп — и, в последние десятилетия, биология и медицина.

Следующая точка: Москва — обобщённые решения СоболеваСергей Львович Соболевсоветский математик · 1908–1989Ввёл обобщённые решения дифференциальных уравнений за девять лет до теории распределений Шварца — и пространства, без которых сегодня не пишется ни одна работа по уравнениям в частных производных.: производная появляется там, где производной нет.