Карта → событие
Характеры: теория представлений за несколько месяцев переписки
Задача, с которой всё началось
Рихард Дедекинд занимался следующим упражнением. Возьмём конечную группу $G$ порядка $n$ и заведём по переменной $x_{g}$ на каждый элемент. Составим матрицу размера $n\times n$, у которой на месте $(g,h)$ стоит $x_{gh^{-1}}$, и возьмём определитель:
$$\Theta(G) = \det\left(x_{gh^{-1}}\right)_{g,h\in G}.$$
Это групповой определитель — многочлен от $n$ переменных степени $n$.
Пример. Для $G=\mathbb{Z}/2=\{e,a\}$ матрица есть $\begin{pmatrix}x_e & x_a\\ x_a & x_e\end{pmatrix}$, и
$$\Theta = x_{e}^{2}-x_{a}^{2}=(x_{e}+x_{a})(x_{e}-x_{a}).$$
Два линейных множителя.
Для $\mathbb{Z}/3$: циркулянт, разлагающийся на три линейных множителя:
$$\Theta = \prod_{j=0}^{2}\left(x_{e}+\omega^{j}x_{a}+\omega^{2j}x_{a^{2}}\right), \qquad \omega=e^{2\pi i/3}.$$
ДедекиндРихард ДедекиндОпределил действительное число через разрез рационального ряда и научил математику работать с бесконечными множествами как с объектами — сорок лет проработав учителем в родном Брауншвейге. доказал: для абелевой группы $\Theta$ всегда разлагается на $n$ линейных множителей. Коэффициенты этих множителей — то, что теория чисел уже знала под именем характеров (ДирихлеПетер Густав Лежён ДирихлеДал первое строгое условие сходимости ряда Фурье, нынешнее определение функции и способ доказывать теоремы теории чисел средствами анализа. пользовался ими с 1837 года для доказательства теоремы о простых числах в арифметической прогрессии).
А для неабелевой? Дедекинд посчитал случай $S_{3}$ (порядок 6) и обнаружил:
$$\Theta(S_{3}) = L_{1}\cdot L_{2}\cdot Q^{2},$$
где $L_1,L_2$ — линейные множители, а $Q$ — неприводимый квадратичный множитель, входящий в квадрате.
Дедекинд не понял, что это значит, и 25 марта 1896 года написал письмо Фердинанду Георгу Фробениусу (1849–1917), профессору Берлинского университета.
Восемь месяцев
Дальнейшее — один из самых стремительных эпизодов в истории математики, и он документирован буквально по неделям, поскольку переписка сохранилась полностью (опубликована Томасом Хокинсом и Вальтером Ледерманом).
| Дата | Что произошло |
|---|---|
| 25 марта 1896 | Письмо Дедекинда с задачей |
| 12 апреля | Фробениус отвечает, что задача его захватила |
| 17 апреля | Найдено определение характера для неабелевой группы |
| апрель — июнь | Доказаны соотношения ортогональности |
| июль — октябрь | Построена общая теория; вычислены характеры $S_n$, $\mathrm{PSL}(2,p)$ |
| декабрь 1896 | Опубликовано: «Über Gruppencharaktere», Sitzungsberichte Берлинской академии |
За восемь месяцев создана целая теория — и создана, что примечательно, до появления самого понятия представления. Фробениус пришёл к характерам чисто вычислительно, через разложение определителя; матричные представления он ввёл только в 1897 году, а связь между ними прояснил в 1899-м. Исторически всё шло задом наперёд относительно современного изложения.
Ответ на вопрос Дедекинда
Теорема Фробениуса. Групповой определитель разлагается как
$$\Theta(G)=\prod_{i=1}^{r}\left(\Phi_{i}\right)^{d_{i}},$$
где произведение берётся по всем неприводимым представлениям, $d_i$ — размерность $i$-го представления, $\Phi_i$ — неприводимый многочлен степени $d_i$, а $r$ — число классов сопряжённости.
Для $S_3$: три неприводимых представления размерностей 1, 1, 2 — отсюда $L_1L_2Q^2$, ровно то, что видел Дедекинд. Загадочный квадрат — это размерность двумерного представления.
Представления и характеры
Определение. Представление группы $G$ — это гомоморфизм
$$\rho: G\longrightarrow \mathrm{GL}(V),$$
то есть способ реализовать элементы группы матрицами так, чтобы умножение в группе отвечало умножению матриц.
Зачем: абстрактная группа — объект, с которым трудно что-либо вычислить. Матрицы же можно складывать, находить у них след, собственные значения, ранг. Представление — это способ увидеть группу.
Характер представления:
$$\chi_{\rho}(g)=\operatorname{tr}\rho(g).$$
Всего одно число на каждый элемент группы — казалось бы, чудовищная потеря информации. Но:
- Характер не зависит от выбора базиса (след инвариантен относительно сопряжения) и постоянен на классах сопряжённости. Значит, это функция на классах, а их конечное число.
- Характер определяет представление однозначно (с точностью до эквивалентности). Вся информация сохранилась!
Отсюда метафора «отпечатки пальцев»: несколько чисел полностью идентифицируют объект.
Соотношения ортогональности
Главный технический результат, превращающий теорию в вычислительный инструмент.
Введём на пространстве функций на группе скалярное произведение
$$\langle\varphi,\psi\rangle = \frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}\varphi(g)\overline{\psi(g)}.$$
Теорема. Характеры неприводимых представлений образуют ортонормированный базис пространства функций, постоянных на классах сопряжённости:
$$\left\langle\chi_{i},\chi_{j}\right\rangle=\delta_{ij}.$$
Следствия сыплются немедленно:
- Число неприводимых представлений равно числу классов сопряжённости.
- Сумма квадратов размерностей равна порядку группы:
$$\sum_{i=1}^{r}d_{i}^{2}=|G|.$$ - Каждое $d_i$ делит $|G|$ (Фробениус).
Пример: таблица характеров $S_3$
Классы сопряжённости: $\{e\}$ (1 элемент), транспозиции (3 элемента), тройные циклы (2 элемента). Значит, три неприводимых представления.
Из $d_1^2+d_2^2+d_3^2=6$ при целых положительных $d_i$, одно из которых равно 1 (тривиальное представление), получаем единственную возможность $1+1+4$: размерности 1, 1, 2.
| $e$ | $(12)$ | $(123)$ | |
|---|---|---|---|
| число элементов | 1 | 3 | 2 |
| $\chi_{\text{тривиальное}}$ | 1 | 1 | 1 |
| $\chi_{\text{знак}}$ | 1 | $-1$ | 1 |
| $\chi_{\text{стандартное}}$ | 2 | 0 | $-1$ |
Проверим ортогональность последней строки с первой:
$$\frac{1}{6}\left(1\cdot1\cdot2+3\cdot1\cdot0+2\cdot1\cdot(-1)\right)=\frac{2+0-2}{6}=0. \quad\checkmark$$
И нормировку:
$$\frac16\left(1\cdot4+3\cdot0+2\cdot1\right)=\frac{4+2}{6}=1. \quad\checkmark$$
Из таблицы характеров, занимающей девять чисел, извлекается практически всё об устройстве группы.
Зачем это нужно
В алгебре. Первое же применение — теорема Бёрнсайда (1904): группа порядка $p^{a}q^{b}$ (два простых делителя) разрешима. Доказательство существенно использует характеры, и чисто теоретико-группового доказательства не было найдено до 1970-х. Дальше — теорема Фейта — Томпсона, где характеры составляют половину аппарата.
В физике. Здесь теория представлений оказалась не инструментом, а языком.
- Кристаллография: 230 пространственных групп; спектры колебаний кристалла разлагаются по неприводимым представлениям.
- Квантовая механика: состояния системы образуют пространство представления группы симметрий. Уровни энергии соответствуют неприводимым представлениям, а кратность вырождения равна их размерности. Правила отбора для переходов — прямое следствие ортогональности характеров.
- Физика частиц: восьмеричный путь Гелл-Манна и Неэмана (1961) — классификация адронов по представлениям $\mathrm{SU}(3)$. Пустое место в декуплете предсказало частицу $\Omega^{-}$, найденную в 1964 году. Кварки появились как фундаментальное представление $\mathrm{SU}(3)$ — сначала как математическая необходимость, потом как физическая реальность.
- Стандартная модель есть теория с калибровочной группой $\mathrm{SU}(3)\times\mathrm{SU}(2)\times\mathrm{U}(1)$; частицы — векторы в её представлениях.
Формулировка, приписываемая разным физикам: «Всякое утверждение о симметрии есть утверждение о представлении».
Заготовленный стык
Для непрерывных групп теория представлений вынуждена стать бесконечномерной, и тогда её невозможно отделить от функционального анализа.
Опорные точки: теорема Питера — ВейляГерман ВейльСоединил теорию групп с квантовой механикой, придумал калибровочную симметрию и был, по общему мнению, самым широко образованным математиком своего поколения. (1927) для компактных групп; ГельфандИзраиль Моисеевич ГельфандНе окончил школы и университета, стал одним из главных математиков века и полвека вёл семинар, который для Москвы был отдельным учебным заведением. и Наймарк (Москва, 1943) — теория C*-алгебр и представлений некомпактных групп; Хариш-Чандра (1950-е) — бесконечномерные представления полупростых групп.
Алгебраическая линия карты здесь смыкается с функционально-аналитической.
Следующая точка: Кёнигсберг — момент, когда алгебра приняла неконструктивные доказательства.