Петер Густав Лежён Дирихле

Дирихле принадлежит фраза, которую любили повторять его ученики: настоящая математика — это когда вычисления заменены идеями. Сам он так и работал: там, где предшественники считали, он объяснял, почему ответ должен быть таким.

Париж и Берлин

Родился в Дюрене, в семье почтмейстера; фамилия — из валлонского городка Ришле, отсюда «Лежён Дирихле», «молодой человек из Ришле». Германских университетов ему было мало, и в шестнадцать лет он уехал в Париж, где слушал Фурье, Лапласа, Лежандра и Пуассона. Первая же работа — частный случай великой теоремы Ферма для $n=5$ — принесла ему известность в двадцать лет.

Вернувшись, преподавал в Бреслау, потом двадцать семь лет в Берлине, а в 1855 году занял в Гёттингене кафедру, освободившуюся после смерти Гаусса. Через четыре года умер сам — на пятьдесят пятом году.

Условие Дирихле и определение функции

Работа 1829 года отвечает на вопрос, который Фурье оставил открытым: когда ряд из синусов и косинусов действительно сходится к функции. Ответ: если функция кусочно-монотонна и имеет конечное число разрывов, то ряд сходится, причём в точке разрыва — к полусумме односторонних пределов.

В той же работе появляется знаменитый пример: функция, равная единице на рациональных и нулю на иррациональных. Она предъявлена именно как то, к чему теорема неприменима, — и оказалась первым объектом, который нельзя нарисовать. Отсюда же нынешнее понимание: функция — это соответствие, а не формула. Риман отсюда строил свой интеграл, Лебег — свой.

Простые числа через анализ

В 1837 году Дирихле доказал: в любой арифметической прогрессии $a, a+d, a+2d,\dots$ с взаимно простыми $a$ и $d$ бесконечно много простых чисел. Доказательство использовало ряды — $L$-функции, характеры, аналитическое продолжение — там, где речь шла о целых числах. Так родилась аналитическая теория чисел; следующий шаг сделает Риман в 1859-м.

Ему же принадлежит принцип ящиков (если предметов больше, чем ящиков, где-то лежат двое) и «принцип Дирихле» в теории потенциала — то самое рассуждение о минимуме энергии, которое Вейерштрасс объявил необоснованным, а Гильберт спас.

Учитель

Лекции Дирихле по теории чисел издал после его смерти Дедекинд — и в приложениях к ним впервые изложил теорию идеалов. Слушателями были также Риман, Кронекер и Эйзенштейн. Якоби писал о нём: только Дирихле знает, что такое совершенно строгое доказательство, — «мы же, остальные, лишь имеем о нём представление».