Рисс и Фишер: долг Фурье выплачен

Публикации

Две заметки, вышедшие в парижских «Comptes rendus de l'Académie des sciences» с интервалом в несколько недель весной 1907 года:

Фридьеш Рисс (1880–1956), венгр, «Sur les systèmes orthogonaux de fonctions», т. 144, с. 615–619 (март);
Эрнст Зигмунд Фишер (1875–1954), уроженец Вены, «Sur la convergence en moyenne», т. 144, с. 1022–1024.

Работы независимы. Рисс формулировал результат как соответствие между суммируемыми с квадратом последовательностями и ортогональными системами; Фишер доказывал полноту $L^{2}$ относительно сходимости в среднем. Оба опирались на интеграл Лебега, которому было всего пять лет.

О географии: местом публикации был Париж, но сами авторы работали в других местах (Рисс — в Венгрии, Фишер — в Австро-Венгрии; профессорские кафедры оба получили позже, Рисс в Коложваре в 1911-м, Фишер в Эрлангене). Для карты честнее привязать точку к Парижу как месту публикации, отметив венгерско-австрийское авторство.

Формулировка

Теорема (в современном виде). Пространство

$$L^{2}[-\pi,\pi] = \left\{f : \int_{-\pi}^{\pi}|f|^{2}\,d\lambda<\infty\right\}$$

с нормой $\|f\| = \left(\int|f|^{2}\right)^{1/2}$ полно: всякая фундаментальная последовательность сходится к элементу этого же пространства.

Следствие 1. Система $\left\{\dfrac{e^{inx}}{\sqrt{2\pi}}\right\}_{n\in\mathbb{Z}}$ — полный ортонормированный базис. Для любой $f\in L^{2}$ ряд Фурье сходится к $f$ в среднем квадратичном:

$$\left\|f - \sum_{|n|\leqslant N}c_{n}e^{inx}\right\|_{L^{2}}\xrightarrow[N\to\infty]{}0.$$

Следствие 2 (равенство Парсеваля).

$$\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|f(x)|^{2}dx = \sum_{n=-\infty}^{\infty}|c_{n}|^{2}.$$

Следствие 3. Соответствие $f\mapsto(c_{n})$ — изометрический изоморфизм $L^{2}\cong\ell^{2}$.

Что это значит на самом деле

Стоит проговорить медленно, потому что здесь замыкается главная нить линии.

Фурье в 1807 году утверждал (Фурье): любая функция раскладывается в тригонометрический ряд. Лагранж возражал, и оба были в некотором смысле правы, потому что не договорились о словах.

Что оказалось верным:

Слово Фурье	Правильное прочтение
«функция»	элемент $L^{2}$, то есть класс эквивалентности с точностью до множества меры нуль
«интеграл» (в формулах для $c_n$)	интеграл Лебега, не Римана
«сходится»	в среднем квадратичном, не поточечно

При таком прочтении утверждение верно без единого дополнительного условия. Ни кусочной монотонности Дирихле, ни ограниченности, ни чего бы то ни было ещё.

И наоборот: любая последовательность $(c_n)$ с $\sum|c_n|^2<\infty$ является набором коэффициентов Фурье некоторой функции из $L^{2}$. Соответствие взаимно однозначно в обе стороны.

Столетний вопрос закрыт — ценой полной перестройки всех трёх понятий, в него входящих.

Почему нужна была именно мера Лебега

Аккуратно: с интегралом Римана теорема ложна.

Пространство римановски интегрируемых функций с той же нормой не полно. Можно построить фундаментальную последовательность римановски интегрируемых функций, предел которой римановски не интегрируем (например, приближая функцию Дирихле, точка о Дирихле).

Аналогия точная: $\mathbb{Q}$ не полно, и потому в нём нельзя делать анализ; Дедекинд достроил его до $\mathbb{R}$ (Дедекинд). Лебег достроил пространство римановских функций до $L^{2}$ (Лебег), и Рисс с Фишером доказали, что достройка удалась.

Отсюда видно, зачем вообще нужна была вся возня с мерой. Не ради экзотических функций, а ради полноты — то есть ради того, чтобы предельные переходы не выводили за пределы пространства.

Геометрия, ставшая доступной

$L^{2}$ — гильбертово пространство: в нём есть скалярное произведение

$$\langle f,g\rangle = \int f\bar g\,d\lambda,$$

а с ним — вся евклидова геометрия в бесконечной размерности:

длина $\|f\|$;
угол: $\cos\theta = \dfrac{\langle f,g\rangle}{\|f\|\|g\|}$;
ортогональность: $\langle f,g\rangle=0$;
теорема Пифагора: $\|f+g\|^{2}=\|f\|^{2}+\|g\|^{2}$ при ортогональных $f,g$;
проекция на подпространство, дающая наилучшее приближение.

Последнее особенно наглядно: частичная сумма ряда Фурье $S_{N}f$ есть ортогональная проекция $f$ на подпространство тригонометрических многочленов степени $\leqslant N$. Значит, она — наилучшее приближение в среднеквадратичной норме:

$$\|f-S_{N}f\| = \min_{\deg T\leqslant N}\|f-T\|.$$

Равенство Парсеваля при таком взгляде — просто теорема Пифагора для бесконечного числа взаимно ортогональных слагаемых.

Продолжение

Рисс обобщил на $L^{p}$ при $p\geqslant1$; ввёл ограниченные линейные функционалы и доказал теорему Рисса о представлении: всякий непрерывный функционал на гильбертовом пространстве имеет вид $\varphi\mapsto\langle\varphi,g\rangle$. Отсюда — двойственность и вся банахова теория.
Изоморфизм $L^{2}\cong\ell^{2}$ через двадцать лет объяснит эквивалентность волновой и матричной механики (см. предыдущую точку).
Понятие сходимости в среднем как самостоятельного вида сходимости, наряду с поточечной и равномерной.
Рисс — ученик Вайи, учитель Радо и Реньи (того самого, из линии вероятностей). Его книга с Секефальви-Надем «Leçons d'analyse fonctionnelle» (1952) — классика жанра.

Что осталось нерешённым

Сходимость в среднем не есть сходимость в точках. Из $\|f-S_Nf\|\to0$ не следует, что $S_Nf(x)\to f(x)$ хотя бы для одного конкретного $x$.

Вопрос о поточечной сходимости остался открытым и был поставлен Лузиным в 1915 году как гипотеза: для $f\in L^{2}$ ряд Фурье сходится почти всюду. Гипотезу считали скорее ложной; Колмогоров в 1923-м подкрепил скепсис примером в $L^{1}$ (см. точку о Колмогорове). Доказал Карлесон в 1966-м — последняя точка нити.