Карта → событие
Грам и Шмидт: из любого набора — ортогональный
Вопрос, висевший над линией
Синусы, многочлены Лежандра, многочлены ЭрмитаШарль ЭрмитДоказал трансцендентность числа $e$ — и отказался браться за $\pi$, сказав, что не рискнёт; через девять лет это сделал Линдеман тем же методом., Лагерра, ЧебышёваПафнутий Львович ЧебышёвОсновал петербургскую математическую школу, дал первые строгие оценки в законе распределения простых чисел и построил около сорока механизмов, включая шагающую машину., собственные функции задачи Штурма — Лиувилля — каждая ортогональная система была найдена отдельно, в своей задаче, и всякий раз ортогональность выглядела подарком.
Вопрос напрашивается: это везение — или ортогональная система есть всегда?
Ответ: всегда, и вот процедура
Возьмём любой линейно независимый набор $v_{1},v_{2},\dots$ и будем последовательно вычитать из каждого вектора его проекцию на всё предыдущее:
$$e_{1}=\frac{v_{1}}{\|v_{1}\|},\qquad w_{k}=v_{k}-\sum_{j<k}\langle v_{k},e_{j}\rangle\,e_{j},\qquad e_{k}=\frac{w_{k}}{\|w_{k}\|}.$$
Ничего сверх школьного «опустить перпендикуляр», повторённого нужное число раз. Полученная система ортонормирована и порождает то же самое, что исходная.
Три следствия, каждое весомее предыдущего
Первое: зоопарк получается сам. Применим процесс к степеням $1,x,x^{2},\dots$ со скалярным произведением $\langle f,g\rangle=\int fg\,w\,dx$:
| Вес и промежуток | Что выпадает |
|---|---|
| $w=1$ на $[-1,1]$ | многочлены ЛежандраАдриен Мари ЛежандрПервым напечатал метод наименьших квадратов, первым сформулировал закон распределения простых чисел — и в обоих случаях приоритет у него оспорил Гаусс. |
| $w=1/\sqrt{1-x^{2}}$ на $[-1,1]$ | многочлены Чебышёва |
| $w=e^{-x^{2}}$ на прямой | многочлены Эрмита |
| $w=e^{-x}$ на $[0,+\infty)$ | многочлены Лагерра |
Сто лет разрозненных открытий оказываются одной процедурой с четырьмя весами.
Второе: базис есть всегда. В сепарабельном пространстве возьмём счётное плотное множество, выбросим линейно зависимые векторы и ортогонализуем остаток. Ортонормированный базис существует — не для избранных пространств, а для всех.
Третье, самое сильное: гильбертово пространство ровно одно. Пусть базис есть. Сопоставим функции набор её коэффициентов: неравенство Бесселя говорит, что набор попадает в $\ell^{2}$, равенство Парсеваля — что длина сохраняется, теорема Рисса — Фишера — что попадает всякий набор. Итого:
$$\boxed{\;\text{всякое сепарабельное бесконечномерное гильбертово пространство изоморфно } \ell^{2}.\;}$$
Оно одно. Отсюда и берётся право фон НейманаДжон фон НейманАксиоматизировал квантовую механику, основал теорию игр, придумал архитектуру компьютера и метод Монте-Карло — и всё это, по мнению современников, не напрягаясь. сказать, что матричная механика и волновая — одна теория: пространства $\ell^{2}$ и $L^{2}$ не «похожи», а совпадают.
Стоит оценить, насколько это исключительная удача. Для банаховых пространств ничего подобного нет и быть не может: там нет ни ортогональности, ни проекций, а попытка классификации кончилась гусём Энфло и пространством Цирельсона. Гильбертов случай — единственное место на этой линии, где мечта о классификации сбылась.
Кто это придумал на самом деле
| Год | Кто | Где |
|---|---|---|
| 1812 | ЛапласПьер-Симон ЛапласСвёл небесную механику в пять томов, а теорию вероятностей — в один, и на полтора столетия задал образ мира, в котором будущее вычисляется из настоящего. | внутри «Аналитической теории вероятностей» |
| 1836 | КошиОгюстен Луи КошиПервым потребовал от анализа доказательств вместо очевидности — и первым написал учебник, по которому это можно было выучить. | в связи с методом наименьших квадратов |
| 1883 | Грам | Копенгаген, работа о разложениях по методу наименьших квадратов |
| 1907 | Шмидт | Гёттинген; отсюда процесс и пошёл в оборот |
Ещё одна теорема, названная не по первооткрывателям, — как Хана — Банаха с четырьмя авторами в трёх городах.
Йорген Педерсен Грам (1850–1916) — датчанин, всю жизнь прослуживший в страховом обществе «Хафния»; математикой занимался помимо службы. Свои разложения он применял к лесному хозяйству: как по выборке оценить запас древесины в лесу. Его именем названы матрица и определитель Грама. Погиб в 1916 году — сбит велосипедистом по дороге на заседание Академии.
Совпадение, которое перестаёт быть совпадением, если приглядеться: Фредгольм тоже служил актуарием. Скандинавский анализ рубежа веков в изрядной степени вышел из страховых контор — там раньше других понадобилось всерьёз считать средние квадраты.
Шмидт: главное — не процесс
Эрхард Шмидт (1876–1959), ученик ГильбертаДавид ГильбертЧеловек, сделавший Гёттинген столицей математики и задавший ей повестку на весь XX век — двадцатью тремя проблемами и одной программой, которую сам же и не смог спасти., защитился в Гёттингене в 1905-м. Процесс ортогонализации — не самое важное, что он сделал.
Гильберт писал о бесконечном числе переменных и квадратичных формах от них — на языке алгебры. Шмидт перевёл всё это на язык геометрии: вектор, длина, угол, ортогональная проекция, замкнутое подпространство. Он же ввёл обозначение $\|f\|$ для нормы. После Шмидта пространство функций стало можно видеть, а не только вычислять в нём, — и вся дальнейшая линия говорит его языком.
Ему же принадлежит разложение интегрального оператора по сингулярным числам — то самое, что для матриц называется сингулярным разложением и тихо работает внутри регуляризации Тихонова и половины современного анализа данных.
Следующая точка: Сегед — простейший из всех ортонормированных базисов, и первый, у которого коэффициент говорит о месте.