Гильбертово пространство встречает квантовую механику

Две механики, дающие один ответ

1925 год, Гёттинген: Гейзенберг строит матричную механику. Наблюдаемые — бесконечные матрицы, состояние описывается набором чисел, спектр атома получается из собственных значений.

1926 год, Цюрих: Шрёдингер строит волновую механику. Состояние — функция $\psi(x)$, наблюдаемые — дифференциальные операторы, спектр получается из краевой задачи.

Теории выглядели совершенно разными — алгебра против дифференциальных уравнений, — и давали одинаковые ответы. Шрёдингер в 1926 году предъявил «доказательство эквивалентности», но оно было формальным пересчётом, а не объяснением.

Почему математики морщились

Аппарат, которым физики пользовались (в особенности в изложении ДиракаПоль Дираканглийский физик-теоретик · 1902–1984Написал уравнение, из которого следовало существование античастиц, — и они нашлись. Ввёл дельта-функцию, которую математики двадцать лет считали недопустимой, а потом узаконили.), опирался на объект, которого не существует: дельта-функцию, равную нулю всюду, кроме одной точки, и с интегралом единица. Такой функции нет, и никакие оговорки этого не меняли.

Фон Нейман в предисловии к своей книге пишет об этом прямо: формализм преобразований Дирака математически несостоятелен, и нужен другой путь. Дельту узаконят только через восемнадцать лет — в Нанси. Фон Нейман обошёлся без неё вовсе.

Ответ: работать в абстрактном пространстве

Ключевое наблюдение простое до обидного. Матричная механика живёт в $\ell^{2}$ — пространстве последовательностей; волновая живёт в $L^{2}$ — пространстве функций. А эти два пространства изоморфны: это в точности теорема Рисса — Фишера 1907 года.

Значит, никаких «двух механик» нет. Есть одно абстрактное гильбертово пространство и два его представления — как две системы координат для одного вектора.

Чтобы это можно было произнести, потребовалось определение. Фон Нейман даёт его в 1929 году: гильбертово пространство — это полное пространство со скалярным произведением, и сверх того ничего. Ни последовательностей, ни функций. Он же вводит и само название — Гильберт, по известному анекдоту, услышав термин, спросил, что это такое.

Тонкость, ради которой всё писалось: симметричный ≠ самосопряжённый

Здесь техническое сердце сюжета, и оно того стоит.

Для матриц симметричность — простое условие $a_{ij}=a_{ji}$. Для операторов в бесконечномерном пространстве появляется вторая половина условия: область определения. Оператор дифференцирования не применим ко всем элементам $L^{2}$, только к достаточно гладким, — и вопрос, каким именно, оказывается физическим.

Оператор $A$ называют симметричным, если $\langle Ax,y\rangle=\langle x,Ay\rangle$ на его области определения, и самосопряжённым, если сверх того области определения $A$ и $A^{*}$ совпадают. Разница выглядит педантизмом, но:

Спектральная теорема верна для самосопряжённых операторов и неверна для просто симметричных.

Пример, ставший классическим. Оператор импульса $\hat p=-i\hbar\,\dfrac{d}{dx}$:

Где живёт частица	Что с импульсом
вся прямая	самосопряжён; спектр — вся прямая
отрезок $[0,\ell]$	самосопряжённых расширений целое семейство: $u(\ell)=e^{i\theta}u(0)$
полупрямая $[0,\infty)$	симметричен, но самосопряжённых расширений нет вовсе

Последняя строка — не курьёз, а физика: у частицы на полупрямой не существует наблюдаемой «импульс». Никакой прибор не измерит величину, которой нет. Обнаружил это фон НейманДжон фон Нейманвенгеро-американский математик · 1903–1957Аксиоматизировал квантовую механику, основал теорию игр, придумал архитектуру компьютера и метод Монте-Карло — и всё это, по мнению современников, не напрягаясь., введя индексы дефекта и сведя вопрос к преобразованию КэлиАртур Кэлианглийский математик и юрист · 1821–1895Четырнадцать лет работал адвокатом и между делами написал двести пятьдесят математических работ, а заодно придумал слово «матрица» и абстрактное определение группы..

Словарь

Книга «Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik» (Берлин, 1932) переводит физику в математику до конца:

Физика	Математика
состояние	вектор единичной длины (точнее — луч)
наблюдаемая	самосопряжённый оператор
возможные результаты измерения	спектр этого оператора
вероятность результата	$|\langle\psi,e_{k}\rangle|^{2}$
эволюция во времени	унитарная группа $U_{t}=e^{-iHt/\hbar}$
смешанное состояние	матрица плотности

Строку про эволюцию сделал теоремой Маршалл Стоун (1932): всякая непрерывная однопараметрическая группа унитарных операторов имеет вид $e^{itA}$ с самосопряжённым $A$, и обратно. Уравнение Шрёдингера перестало быть постулатом и стало следствием — из унитарности (сохранение вероятности) и непрерывности.

А теорема Стоуна — фон Неймана (1930–1931) доказала окончательно то, что Шрёдингер лишь показал на пальцах: представление канонических соотношений коммутации по существу единственно. Матричная механика и волновая — одна теория, и это теорема, а не наблюдение.

Дискретность спектра — это дискретность спектра

Стоит остановиться на совпадении, которому удивлялся сам Гильберт. Слово «спектр» он ввёл около 1904 года из чисто внутренних соображений, для классификации значений параметра в интегральных уравнениях, и никакой физики в виду не имел. Через двадцать лет выяснилось, что дискретность энергетических уровней атома есть дискретность точечного спектра оператора энергии — то есть спектральные линии, которые физики наблюдали в спектроскопе, и «спектр» математиков суть одно и то же.

Случай в истории науки редчайший: физика потребовала готовый раздел математики через двадцать лет после его создания — и он подошёл без переделки.

Одна ошибка

В книге 1932 года есть доказательство невозможности «скрытых параметров» — то есть того, что квантовая случайность не может быть незнанием о какой-то более подробной классической картине. Доказательство оказалось неверным: слишком сильное предположение об аддитивности средних. Первой это заметила Грета Герман в 1935 году; её работу не заметили, и вопрос закрыли только Джон Белл (1966) и последующие эксперименты.

Ошибка на тридцать лет заморозила целое направление — редкий случай, когда авторитет книги сработал против науки.

Продолжение: кольца операторов

С 1936 по 1943 год фон Нейман вместе с Фрэнсисом Мюрреем в Принстоне строит теорию алгебр операторов — «факторов», ныне алгебр фон Неймана. Классификация на типы I, II, III и главное открытие: размерность может быть непрерывной. В факторе типа $\mathrm{II}_{1}$ подпространство имеет размерность — любое число из отрезка $[0,1]$, и «половина размерности» перестаёт быть бессмыслицей.

Мотивов было три: квантовая механика, теория представлений бесконечных групп и чистое любопытство. Через полвека выяснится, что из подфакторов получаются инварианты узлов.

Следующая точка: Тбилиси, 1933 — та же машинерия попадает в руки инженеров-прочнистов.