Полином Джонса: узлы из операторных алгебр

Столетняя предыстория

Теория узлов началась с ошибочной физической гипотезы. В 1860-е годы Кельвин предположил, что атомы — это узлы, завязанные в мировом эфире; разные узлы дают разные химические элементы. Идея требовала таблицы узлов, и её взялся составлять Питер Гатри Тэт, потративший на это годы и составивший списки до десяти пересечений.

Эфира не нашлось, гипотеза умерла, а таблицы остались — и вместе с ними задача: как отличить один узел от другого?

Задача труднее, чем кажется. Узел можно расправлять и перекладывать сколько угодно; чтобы доказать, что два узла различны, нужен инвариант — величина, не меняющаяся при таких перекладываниях. Райдемайстер (1927) свёл дело к трём элементарным движениям: любые две диаграммы одного узла связаны их последовательностью. Значит, достаточно проверять инвариантность относительно трёх операций.

Полином АлександераДжеймс Александерамериканский математик · 1888–1971Построил рогатую сферу — вложение обычной сферы в пространство, устроенное так, что внешность её не односвязна, — и первый многочлен, различающий узлы. (1928) — первый удачный инвариант. Он различает многое, но не всё: в частности, не отличает узел от его зеркального отражения. А трилистник и его зеркальный образ — разные узлы (это доказано), и хотелось инвариант, который бы это видел.

Полвека новых полиномиальных инвариантов не появлялось.

Как это случилось

Вон Джонс (1952–2020), новозеландец, работавший в Пенсильванском университете в Филадельфии, теорией узлов не занимался вовсе. Он изучал алгебры фон НейманаДжон фон Нейманвенгеро-американский математик · 1903–1957Аксиоматизировал квантовую механику, основал теорию игр, придумал архитектуру компьютера и метод Монте-Карло — и всё это, по мнению современников, не напрягаясь. — операторные алгебры, выросшие из квантовой механики, — и, точнее, теорию индексов подфакторов. Его теорема 1983 года о том, какие значения может принимать индекс (набор $4\cos^{2}(\pi/n)$ и всё, что больше 4), была сенсацией в функциональном анализе.

В ходе работы у него возникла алгебра с образующими $e_i$ и соотношениями

$$e_i^{2}=e_i,\qquad e_ie_{i\pm1}e_i=\tau e_i,\qquad e_ie_j=e_je_i\ \text{при } |i-j|\geqslant2 .$$

Показав их на семинаре, Джонс услышал от одного из слушателей (по разным рассказам, это был специалист по теории кос), что соотношения подозрительно похожи на соотношения группы кос АртинаЭмиль Артинавстрийский и американский математик · 1898–1962Доказал общий закон взаимности — центральную теорему теории полей классов, — придумал группы кос и вместе с ван дер Варденом ввёл в обиход тот способ излагать алгебру, которым её излагают до сих пор.. Он пошёл разбираться — и обнаружил, что его алгебра даёт представление группы кос, а по представлению группы кос строится инвариант узла.

Так в 1984 году появился полином Джонса $V(L)$ — по дороге из функционального анализа, мимо всей топологии.

Как он устроен

Замечательно, что при всей экзотике происхождения полином вычисляется элементарно — рекуррентным скейн-соотношением:

$$t^{-1}V(L_{+})-t\,V(L_{-})+\left(t^{-1/2}-t^{1/2}\right)V(L_{0})=0,$$

где $L_+$, $L_-$, $L_0$ — три диаграммы, различающиеся только в одном перекрёстке (перекрёсток одного знака, другого знака, и перекрёсток «расшитый»). Для тривиального узла $V=1$.

Раскручивая соотношение, любой узел за конечное число шагов сводится к тривиальному, и полином вычисляется.

Для трилистника получается

$$V=-t^{-4}+t^{-3}+t^{-1},$$

а для его зеркального отражения — то же самое с заменой $t\to t^{-1}$. Полиномы различны — значит, трилистник и его зеркальный образ не эквивалентны. Полином Александера этого не видел.

Практически сразу (1985) полином обобщили до двухпараметрического HOMFLY (название — по первым буквам шести авторов, независимо его нашедших) и до полинома Кауфмана; а сам Кауфман дал новое, чисто комбинаторное определение через «скобку» — настолько простое, что его излагают школьникам.

Один из первых успехов: гипотезы Тэта, стоявшие сто лет и касавшиеся альтернированных узлов, были доказаны в 1987 году именно полиномом Джонса.

Что за этим стоит

Оставался вопрос: почему операторные алгебры знают что-то про узлы? Скейн-соотношение выглядело как фокус.

Ответ дал Эдвард ВиттенЭдвард Виттенамериканский физик-теоретик и математик · род. 1951Единственный физик, получивший Филдсовскую медаль. Объяснил инвариант узлов квантовой теорией поля — и десятилетиями подсказывает математикам теоремы, которые те потом доказывают своими средствами. в 1988–89 годах. Он показал, что полином Джонса есть среднее значение наблюдаемой (петли Вильсона) в трёхмерной квантовой теории поля ЧернаШиинг-Шен Чернкитайско-американский математик · 1911–2004Показал, что определённые интегралы от кривизны дают целые числа, не зависящие ни от связности, ни от метрики; классы Черна связали геометрию с топологией и потом оказались языком физики калибровочных полей. — Симонса — той самой, что построена на формах Черна и Саймонса 1974 года. Инвариантность относительно движений Райдемайстера получается автоматически из того, что теория топологическая: её действие не зависит от метрики.

Это был поворотный момент: физика начала производить топологические инварианты промышленно (инварианты Решетихина — Тураева, квантовые группы Дринфельда, теория Черна — Симонса как источник трёхмерной топологии). Из того же круга идей выросла гомология Хованова (2000) — «категорификация» полинома Джонса, где вместо многочлена строится комплекс, а полином оказывается его эйлеровой характеристикой.

Филдсовские медали 1990 года получили оба: Джонс — за инвариант, Виттен — за применение методов теории поля к математике. Медаль Виттена остаётся единственной в истории, полученной физиком.

Где это работает

Биология. ДНК в клетке заузлена и зацеплена; ферменты-топоизомеразы её распутывают, разрезая и сшивая нити. Определить, какое именно преобразование произошло, помогают узловые инварианты — направление, начатое в 1980-е и вполне рабочее.

Химия. Синтезированы молекулы в форме трилистника и других узлов; их свойства зависят от типа заузливания.

Физика. Топологические квантовые вычисления: идея кодировать информацию в способе заплетения квазичастиц-анионов так, чтобы её нельзя было испортить локальным шумом. Косы здесь — буквально те же, что у Джонса.

Сам Джонс, кстати, до конца жизни оставался специалистом по операторным алгебрам и говорил, что в теорию узлов попал случайно.

Задача. Пользуясь скейн-соотношением и $V(\text{тривиальный узел})=1$, вычислите полином Джонса для тривиального зацепления из двух несвязанных окружностей.
(Ответ: возьмите диаграмму с одним перекрёстком, где $L_+$ и $L_-$ — тривиальный узел, а $L_0$ — искомое зацепление. Тогда $t^{-1}\cdot1-t\cdot1+(t^{-1/2}-t^{1/2})V=0$, откуда $V=-t^{-1/2}-t^{1/2}$.)

Следующая точка: Принстон — где объяснят, откуда этот полином взялся, и объяснение придёт из квантовой теории поля.