Топология

от семи мостов до гипотезы Пуанкаре

Сюжет в одном абзаце

Две задачи Эйлера — о мостах Кёнигсберга (1736) и о многогранниках (1750) — сто лет остаются курьёзами: в них нет ни длин, ни углов, и непонятно, к какому разделу их отнести. В XIX веке выясняется, что курьёзов много: у многогранника с дыркой формула Эйлера другая (Люилье), бывают поверхности с одной стороной (Листинг и Мёбиус), а самые очевидные утверждения о кривых доказываются мучительно (Жордан). Листинг даёт всему этому имя — топология. Дисциплину из разрозненных наблюдений строит Пуанкаре (1895–1904), придумав фундаментальную группу и гомологии; он же оставляет вопрос, на который ответят через 99 лет. Дальше идёт двойная работа: Хаусдорф и московская школа подводят под предмет теоретико-множественный фундамент, а Нётер, Хопф, Лере, Эйленберг и Маклейн строят алгебраический аппарат — и попутно изобретают теорию категорий, язык всей современной математики. Середина XX века — золотой век: экзотические сферы Милнора, кобордизмы Тома, гипотеза Пуанкаре в высоких размерностях (Смейл). А финал сюжета случается там же, где всё начиналось, — в Петербурге.

Что изучает топология

Формулировка «геометрия без расстояний» верна, но ничего не объясняет. Точнее так: топология изучает то, что не меняется при непрерывной деформации — растяжении, сжатии, изгибании, — но меняется при разрывании и склеивании.

Отсюда знаменитая шутка про тополога, который не отличает чашку от бублика: у обеих поверхностей ровно одна дырка, и одну можно непрерывно перевести в другую. А вот бублик от кренделя с двумя дырками отличить можно, и это уже теорема.

Полезно понять, зачем отказываться от расстояний. Ответ прагматический: когда мерить нечего или незачем.

В задаче о мостах не важно, какой мост длиннее, — важно, что с чем соединено.
В теории дифференциальных уравнений точное решение обычно недостижимо, а качественная картина — сколько положений равновесия, замкнуты ли траектории, устойчивы ли они — доступна и часто достаточна. Так топология вошла в динамику через Пуанкаре и Ляпунова.
В анализе данных расстояние между двумя измерениями зависит от выбора единиц, а форма облака точек — нет.

Главный приём: перевести форму в алгебру

У линии есть один сквозной метод, и он стоит того, чтобы сформулировать его явно.

Пространству сопоставляется алгебраический объект — число, группа, кольцо — так, что гомеоморфные пространства получают одинаковый объект. Тогда, если объекты разные, пространства заведомо не гомеоморфны. Доказать, что две фигуры одинаковы, можно, предъявив деформацию; доказать, что они разные, до появления инвариантов было почти невозможно.

Первым таким инвариантом стала эйлерова характеристика $V-E+F$; дальше пошли числа Бетти, фундаментальная группа, группы гомологий и гомотопий, характеристические классы, полиномы узлов. Половина этой линии — история изобретения всё более тонких инвариантов, вторая половина — история того, что они позволили доказать.

И ещё одно свойство приёма, которое обычно замечают не сразу. Инвариант должен быть функториальным: непрерывному отображению пространств должен отвечать гомоморфизм алгебраических объектов. Именно из требования аккуратно объяснить, что здесь значит «отвечать», родилась теория категорий — и оказалась нужна далеко за пределами топологии.

Три оговорки, полезные при чтении

Первая: «очевидное» здесь — самое трудное. Что замкнутая кривая делит плоскость на внутренность и внешность, видит ребёнок; строгое доказательство занимает десятки страниц (Жордан). Что $\mathbb{R}^{2}$ и $\mathbb{R}^{3}$ устроены по-разному, очевидно всем; доказать это сумел только Брауэр в 1911 году. Причина в том, что интуиция опирается на гладкие, «приличные» фигуры, а топология обязана работать со всеми — включая монстров, которых поставил на поток анализ XIX века.

Второе: размерность ведёт себя не по порядку. Гипотезу Пуанкаре доказали сначала для размерностей пять и выше (Смейл, 1960), затем для четвёртой (Фридман, 1981) и лишь потом для исходной третьей (Перельман, 2003). В больших размерностях просторнее: там работает трюк Уитни, требующий места для разведения пересечений. Низкие размерности — самые тесные и самые трудные.

Третье: топология рождалась в стороне от кафедр. Слово придумал школьный учитель и оптик (Листинг); теорию пучков создали в бараке лагеря военнопленных (Лере); теорию категорий получили как побочный продукт; гипотезу Пуанкаре для высоких размерностей доказали, по словам автора, на пляжах Рио. В этой линии на редкость мало академической рутины.

Открыть на карте

1

Санкт-Петербург 1736
Семь мостов Кёнигсберга
Можно ли пройти по всем семи мостам, не пройдя ни по одному дважды? Эйлер отвечает «нет» и объясняет почему — рассуждением, в котором нет ни одной длины и ни одного угла. Обычно отсюда отсчитывают начало и топологии, и теории графов.
2

Санкт-Петербург письмо Гольдбаху — 14 ноября 1750; кривизна поверхностей — Берлин, 1760
Эйлер: два результата, на которых стоит половина линии
Формула $V-E+F=2$ — первый в истории топологический инвариант, найденный за девяносто семь лет до появления слова «топология». Главные кривизны поверхности — то, из чего Гаусс через шестьдесят семь лет сделает свою «замечательную теорему». Обе вещи используются дальше по карте постоянно, и обе введены здесь.
3

Женева 1813
Многогранник с дыркой
Формула Эйлера $V-E+F=2$ неверна для многогранника со сквозной дыркой: там получается ноль. Люилье собирает целую коллекцию таких исключений — и из «поломки» вырастает понятие рода поверхности, первый настоящий топологический инвариант.
4

Гёттинген 1847
Слово «топология»
Иоганн Листинг, ученик Гаусса, печатает «Предварительные исследования по топологии» — дисциплина получает имя за полвека до того, как обзаведётся содержанием. С латинским «analysis situs» слово будет конкурировать до XX века, а сам Листинг останется в истории человеком, у которого дважды отняли первенство.
5

Лейпциг 1858 (Листинг — июль, Мёбиус — позже в тот же год)
Односторонняя поверхность
Полоска бумаги, склеенная с полуоборотом: одна сторона, один край. Открыта в один год дважды и независимо. Главное в ней не курьёз, а то, что односторонность нельзя обнаружить, разглядывая маленький кусочек, — топология учится видеть глобальное.
6

Париж 1887
Жорданова кривая: очевидное — труднее всего
Замкнутая кривая без самопересечений делит плоскость ровно на две части. Утверждение очевидно ребёнку, а доказательство занимает десятки страниц — потому что «кривая» после монстров XIX века означает не то, что подсказывает воображение. Столетнюю репутацию «неверного» доказательства Жордана реабилитировали только в 2007 году.
7

Харьков 1892
Ляпунов: общая задача об устойчивости движения
Докторская диссертация, написанная в Харькове: как узнать, устойчиво ли равновесие, не решая уравнений движения. Прямой метод функций Ляпунова работает до сих пор — им доказывают устойчивость всего от спутников до алгоритмов машинного обучения.
8

Париж 1895–1904
Пуанкаре: «Analysis Situs»
Топология создаётся за одну работу и пять дополнений к ней: фундаментальная группа, гомологии, числа Бетти, двойственность. В последнем дополнении Пуанкаре строит контрпример к собственной догадке — и формулирует вопрос, на который ответят через девяносто восемь лет.
9

Рига 1904
Пирс Боль: неподвижные точки за пять лет до Брауэра
В работе о движении механической системы вблизи равновесия доказано утверждение, равносильное частному случаю теоремы о неподвижной точке. Автору оно было нужно как техническая лемма, теоремой он его не назвал — и в историю вошёл не он.
10

Амстердам 1910–1912
Брауэр: неподвижные точки и отречение
За три года — инвариантность размерности, теорема о неподвижной точке, степень отображения, теорема о причёсывании ежа. Топология получает рабочий арсенал. А затем автор объявляет собственные доказательства незаконными, потому что они неконструктивны, и уходит воевать с Гильбертом.
11

Мюнстер 1910–1911
Ден: лемма о диске и проблема тождества слов
Две работы подряд. Первая переводит вопрос «одинаковы ли два узла» на язык фундаментальных групп и вводит хирургию. Вторая ставит три задачи о группах, заданных образующими и соотношениями, — и первая из них через сорок четыре года окажется алгоритмически неразрешимой.
12

Бонн 1914
Топологическое пространство
«Основы теории множеств» Хаусдорфа: непрерывность определяется без всякого расстояния, через систему окрестностей. Топологическое пространство становится первичным понятием — и дисциплина получает фундамент, на котором стоит до сих пор.
13

Москва 1922–1930
Московская школа: компактность
Александров и Урысон строят теорию компактных пространств — свойства, заменяющего конечность. Урысон утонул в двадцать шесть лет, его метризационная теорема вышла посмертно. Тихонов в двадцать четыре доказывает, что произведение любого числа компактов компактно.
14

Принстон двойственность — 1922, рогатая сфера — 1924, полином — 1928
Александер: рогатая сфера и первый полином узлов
Поверхность, гомеоморфная обычной сфере, у которой внешняя область не односвязна: интуиция о «приличных» фигурах подводит уже в трёх измерениях. И первый работающий инвариант узлов, продержавшийся без конкурентов пятьдесят шесть лет.
15

Гёттинген 1925–1926
Гомологии становятся группами
Эмми Нётер замечает: числа Бетти, которыми топологи считали дыры, — всего лишь ранги некоторых групп, и работать надо с самими группами. Замечание, сделанное на чужом семинаре, превращает топологию в алгебраическую и задаёт способ работы на весь XX век.
16

Цюрих 1931
Расслоение Хопфа
Отображение трёхмерной сферы на двумерную, которое нельзя стянуть в точку, — вопреки общему убеждению, что отображения сферы большей размерности в меньшую тривиальны. Первый нетривиальный пример высших гомотопических групп; полностью их не вычислили до сих пор.
17

Кембридж (Массачусетс) 1936
Уитни: всякое многообразие вкладывается в евклидово
Абстрактно определённое гладкое многообразие всегда можно уложить в $\mathbb{R}^{2n}$. Заодно даётся современное определение самого многообразия — и трюк, объясняющий, почему топология высоких размерностей проще, чем низких.
18

Нижний Новгород Горький, 1937
Андронов и Понтрягин: грубые системы
Устойчивой может быть не только траектория, но и вся картина движения целиком. Две страницы в «Докладах Академии наук» вводят структурную устойчивость — и задают вопрос, из которого вырастут и теория катастроф Тома, и гиперболическая динамика Смейла.
19

Офлаг XVII-A (Эдельбах) 1940–1945
Теория пучков — в лагере военнопленных
Французский офицер пять лет сидит в лагере для военнопленных, скрывает, что он специалист по гидродинамике, и нарочно занимается самой бесполезной для военных наукой — топологией. За эти годы он создаёт теорию пучков и спектральные последовательности, на которых потом будет перестроена алгебраическая геометрия.
20

Энн-Арбор 1942–1945
Теория категорий — побочный продукт
Пытаясь строго объяснить, что значит «естественный изоморфизм», Эйленберг и Маклейн вводят категории, функторы и естественные преобразования. Побочный продукт топологического вычисления стал универсальным языком математики — от алгебраической геометрии до устройства языков программирования.
21

Париж диссертация — 1951
Серр: гомотопические группы сфер поддаются вычислению
Спектральные последовательности, придуманные в лагере военнопленных, применяются к пространству путей — и задача о гомотопических группах сфер, двадцать лет считавшаяся безнадёжной, впервые сдвигается с места. Филдсовская медаль 1954 года, самая молодая в истории.
22

Страсбург 1954
Кобордизмы
Два многообразия считаются одинаковыми, если вместе они ограничивают многообразие на размерность выше. Рене Том показывает, что классификация в этом смысле полностью сводится к гомотопической задаче — и решает её. Филдсовская медаль 1958 года; позже он же прославится теорией катастроф.
23

Принстон 1956
Экзотические семимерные сферы
Джон Милнор находит семимерные многообразия, гомеоморфные обычной сфере, но не диффеоморфные ей. Оказывается, что топологическая структура и гладкая — не одно и то же, а на семимерной сфере гладких структур ровно двадцать восемь. Автор, по собственному признанию, пытался доказать противоположное.
24

Энн-Арбор 1957
Ботт: периодичность
Гомотопические группы классических групп повторяются: с периодом два в комплексном случае и восемь в вещественном. Закономерность настолько неожиданная, что её называют чудом, — и именно на ней стоит K-теория, а через неё и теорема об индексе.
25

Рио-де-Жанейро 1960–1961
Гипотеза Пуанкаре — на пляжах Рио
Стивен Смейл доказывает гипотезу Пуанкаре сразу для всех размерностей от пяти и выше — тех, что казались самыми трудными. Выясняется, что чем больше места, тем проще: в тесноте низких размерностей главный инструмент топологии не работает.
26

Оксфорд 1963
Теорема об индексе
Аналитический индекс равен топологическому: анализ, топология и геометрия сходятся в одной формуле

Майкл Атья и Изадор Зингер доказывают: разность между числом решений эллиптического уравнения и числом условий его разрешимости зависит только от формы пространства, а не от самого уравнения. Теорема соединила анализ, топологию и геометрию — и через пятнадцать лет оказалась языком, на котором физики говорят об аномалиях.
27

Москва 1965
С. П. Новиков: инвариантность классов Понтрягина
Характеристические классы определялись через гладкую структуру — и потому казались от неё зависящими. Новиков доказывает, что рациональные классы Понтрягина зависят только от топологии. Филдсовская медаль 1970 года, за которой его не выпустили: вручали в Москве год спустя.
28

Принстон конец 1970-х — 1982
Геометризация Тёрстона
Всякое трёхмерное многообразие канонически режется на куски, и каждый кусок несёт одну из восьми геометрий. Гипотеза Пуанкаре оказывается мелким частным случаем. Автор перестроил не только предмет, но и представление о том, что в математике считать результатом.
29

Сан-Диего объявлено в августе 1981, опубликовано в 1982
Фридман: четырёхмерная гипотеза Пуанкаре
Полная классификация односвязных четырёхмерных многообразий с точностью до гомеоморфизма — и гипотеза Пуанкаре в самой трудной размерности как следствие. Через год выяснится, что гладкая картина устроена совершенно иначе, и четвёрка окажется исключительной дважды.
30

Бюр-сюр-Иветт теорема о полиномиальном росте — 1981 (Стони-Брук); дальнейший цикл — IHES
Громов: геометрия групп и больших расстояний
Группу можно рассматривать как метрическое пространство и смотреть на неё издалека, отбросив мелкие детали. Чисто алгебраическая теорема о группах полиномиального роста доказывается предельным переходом в геометрии — так рождается геометрическая теория групп.
31

Оксфорд 1982
Экзотические ℝ⁴
Четвёртая размерность: топологическая классификация Фридмана и гладкая расходятся окончательно

Саймон Дональдсон применяет уравнения Янга — Миллса к чистой топологии и доказывает жёсткое ограничение на гладкие четырёхмерные многообразия. В соединении с результатом Фридмана отсюда следует поразительное: на $\mathbb{R}^{n}$ гладкая структура единственна при всех $n$, кроме $n=4$, — а при $n=4$ их континуум.
32

Филадельфия 1984
Полином Джонса: узлы из операторных алгебр
Специалист по алгебрам фон Неймана замечает, что его формулы совпадают с соотношениями в группе кос, — и получает новый инвариант узлов, которого сто лет не могли найти топологи. Через четыре года Виттен объясняет его квантовой теорией поля. Обоим — Филдсовские медали.
33

Принстон 1988–1989
Виттен: топологическая квантовая теория поля
Полином Джонса оказывается средним значением наблюдаемой в квантовой теории поля, действие которой не зависит от метрики. Отсюда — целый способ производить топологические инварианты и Филдсовская медаль, единственная в истории у физика.
34

Дэвис препринт — 1999, публикация — 2000
Хованов: категорификация полинома Джонса
Вместо многочлена строится цепной комплекс, а сам многочлен оказывается его эйлеровой характеристикой. Инвариант становится сильнее — и, в отличие от полинома Джонса, различает узлы, которые тот не различал, и умеет распознавать тривиальный узел.
35

Принстон мотивные когомологии — 1996–2000; унивалентные основания — 2006–2013
Воеводский: гомотопии в алгебре и логике
Сначала методы теории гомотопий переносятся в алгебраическую геометрию и решают гипотезу Милнора. Потом обнаруживается, что топологически устроена сама логика: типы ведут себя как пространства, а равенства — как пути. Топология, начинавшаяся как раздел геометрии, оказывается кандидатом в основания всей математики.
36

Санкт-Петербург 2002–2003
Гипотеза Пуанкаре доказана
Григорий Перельман тремя препринтами закрывает гипотезу Пуанкаре и более общую гипотезу геометризации Тёрстона. Метод — риччиев поток с хирургией: метрика эволюционирует так, чтобы кривизна выравнивалась, а возникающие особенности вырезаются. Топологическая задача решена средствами геометрии и анализа. Все премии отклонены.
37

Стэнфорд 2005–2009
Топология данных
Гомологии Пуанкаре, придуманные для многообразий, применяют к облакам точек — и получают инструмент, показывающий «форму данных» на всех масштабах сразу. Самая абстрактная из математических наук становится прикладной, а столетний круг замыкается.