Карта → событие
Гомологии становятся группами
Замечание
В середине 1920-х годов Александров и Хопф проводили в Гёттингене лекции и семинары по топологии. Эмми НётерЭмми НётерИзменила не столько набор теорем, сколько способ думать: после неё алгебра занимается не вычислениями с объектами, а структурами и отображениями между ними., работавшая там же, посещала их — и, по свидетельству обоих, неоднократно повторяла одну мысль, которую они сначала не оценили.
Пуанкаре строил гомологии так: берутся циклы (замкнутые цепи), из них выбрасываются границы, а результат считается — получаются числа БеттиЭнрико БеттиВвёл числа, меряющие, сколько в пространстве независимых «дыр» каждой размерности. Пуанкаре назвал их числами Бетти, и под этим именем они стоят в основании алгебраической топологии. $b_k$. Нётер сказала: вы отбрасываете структуру. Циклы по модулю границ образуют группу, а числа Бетти — всего лишь её ранги.
$$H_k(X)=\frac{\ker\partial_k}{\operatorname{im}\partial_{k+1}}\qquad\text{— группа, а не число.}$$
АлександровПавел Сергеевич АлександровСоздал московскую топологическую школу и вместе с Урысоном — теорию компактных пространств; ввёл в обиход гомологические группы, услышав идею от Эмми Нётер. писал позднее, что эта мысль казалась очевидной, как только она была произнесена, и что никто до неё её не произносил.
Почему это не мелочь
Аргумент первый: группа помнит больше, чем её ранг.
Возьмём проективную плоскость $\mathbb{RP}^{2}$ — сферу с отождествлёнными противоположными точками. У неё
$$H_1(\mathbb{RP}^{2})=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}.$$
Ранг этой группы равен нулю, значит число Бетти $b_1=0$ — по старому счёту дыр нет. А группа нетривиальна: в проективной плоскости есть петля, которая не стягивается, но становится стягиваемой, если пройти её дважды. Такие элементы называются кручением, и никакое число Бетти их не видит.
То же с бутылкой КлейнаФеликс КлейнОбъяснил, что геометрия — это группа преобразований и её инварианты, а потом на тридцать лет превратил Гёттинген в мировую столицу математики. и вообще со всеми неориентируемыми поверхностями. Целый класс явлений был невидим ровно потому, что результат вычисления сводили к числу.
Аргумент второй, более важный: группам можно сопоставлять отображения.
Пусть $f:X\to Y$ — непрерывное отображение. Оно переводит циклы в циклы и границы в границы, значит задаёт гомоморфизм $f_*:H_k(X)\to H_k(Y)$. Причём согласованно: композиции отображений отвечает композиция гомоморфизмов, тождественному — тождественный.
Это свойство называется функториальностью, и на нём держится вся дальнейшая топология. Схема доказательств выглядит так:
$$\text{предположим, что нужное отображение существует}\ \Rightarrow\ \text{получим гомоморфизм групп}\ \Rightarrow\ \text{такого гомоморфизма нет}\ \Rightarrow\ \text{противоречие.}$$
Пример — та самая теорема о нерастяжимости, с которой мы уже встречались у Боля и Брауэра. Пусть есть ретракция $r:D^{2}\to S^{1}$, оставляющая границу на месте. Обозначим через $i:S^{1}\to D^{2}$ вложение. Тогда $r\circ i=\mathrm{id}$, значит в гомологиях $r_*\circ i_*=\mathrm{id}$. Но $H_1(S^{1})=\mathbb{Z}$, а $H_1(D^{2})=0$, и композиция $\mathbb{Z}\to0\to\mathbb{Z}$ тождественной быть не может. Противоречие. $\blacksquare$
Сравните с тем, чего это стоило БрауэруЛёйтзен БрауэрЗа три года выдал топологии её рабочий арсенал, а потом объявил собственные доказательства незаконными и двадцать лет воевал с Гильбертом за право математики говорить только о том, что построено. в 1911 году, когда аппарата не было. Здесь — три строки, и они механические.
Стиль
Метод Нётер в математике описывался ею самой формулой «begrifflich, nicht rechnerisch» — понятиями, а не вычислениями. Не считать, а найти правильную структуру, в которой ответ становится очевидным.
Тот же ход она сделала в алгебре: теория идеалов вместо вычислений с многочленами, аксиомы кольца вместо конкретных примеров. И там и здесь результат один — задача, требовавшая изобретательности, превращается в применение общего понятия.
Аппарат оформили другие: ХопфХайнц ХопфПостроил отображение трёхмерной сферы на двумерную, которое нельзя стянуть в точку, — и открыл этим высшие гомотопические группы, не вычисленные полностью до сих пор. и Александров ввели гомологические группы в обиход (книга «Topologie», 1935), ПонтрягинЛев Семёнович ПонтрягинОслеп в тринадцать лет и всё считал в уме; построил двойственность топологических групп, характеристические классы и принцип максимума — три вещи из разных наук, каждая из которых пережила автора. построил на них теорию двойственности, Эйленберг и Маклейн аксиоматизировали. Сама Нётер по топологии почти ничего не напечатала — её вкладом была мысль.
Судьба
В апреле 1933 года Эмми Нётер была уволена из Гёттингенского университета как еврейка. Некоторое время семинар продолжался у неё дома; затем она уехала в США, в женский колледж Брин-Мор. Умерла в 1935 году, в пятьдесят три, от осложнений после операции.
Некролог написал ЭйнштейнАльберт ЭйнштейнЕдинственный физик в этом справочнике по праву математика: чтобы записать тяготение, ему понадобилась геометрия Римана — и он потратил на её освоение семь лет., назвав её самым значительным творческим математическим гением из женщин с начала высшего образования для женщин. Александров произнёс памятную речь в Московском математическом обществе — и именно из неё известны подробности гёттингенского замечания о гомологиях.
Эта точка — место, где алгебраическая линия карты пересекается с топологической. После неё дисциплина называется алгебраической топологией буквально, а не метафорически.
Задача. У окружности $H_1(S^{1})=\mathbb{Z}$, у диска $H_1(D^{2})=0$, у тора $H_1(T^{2})=\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$. Пользуясь функториальностью, докажите, что тор не гомеоморфен сфере ($H_1(S^{2})=0$).
(Указание: гомеоморфизм давал бы изоморфизм групп; $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ и $0$ не изоморфны. Заметьте, насколько это проще любого прямого рассуждения о деформациях.)
Следующая точка: Цюрих — где обнаружат отображение сферы на сферу, которое нельзя стянуть, и откроют задачу, не решённую до сих пор.