Расслоение Хопфа

Убеждение, которое оказалось ложным

К 1930 году было известно: всякое непрерывное отображение $S^{m}\to S^{n}$ при $m<n$ стягивается в точку — «нитку нельзя нетривиально намотать на большой шар». Естественно было думать, что и при $m>n$ ничего интересного нет: сферу большей размерности некуда девать на меньшей, она обязана как-то смяться.

Хайнц Хопф (1894–1971) показал, что это неверно, предъявив явную конструкцию.

Работа «Über die Abbildungen der dreidimensionalen Sphäre auf die Kugelfläche» вышла в «Mathematische Annalen» в 1931 году. Сделана она была в Берлине, где Хопф работал приват-доцентом; в том же 1931-м он получил кафедру в Цюрихском политехникуме — ту, что освободил Герман Вейль, уехавший в Гёттинген, — и создал там школу алгебраической топологии, определившую предмет на десятилетия.

Конструкция

Она короткая, и её стоит выписать.

Рассмотрим трёхмерную сферу как множество пар комплексных чисел:

$$S^{3}=\left\{(z_1,z_2)\in\mathbb{C}^{2}:\ |z_1|^{2}+|z_2|^{2}=1\right\}.$$

(Это действительно трёхмерная сфера: четыре вещественные координаты, одно уравнение.) Отображение задаётся так:

$$h(z_1,z_2)=\frac{z_1}{z_2}\ \in\ \mathbb{C}\cup\{\infty\}=S^{2}.$$

Правая часть — комплексная прямая, дополненная бесконечностью, то есть сфера РиманаБернхард Риманнемецкий математик · 1826–1866Прожил тридцать девять лет и оставил около десяти работ — из которых выросли современная геометрия, теория функций комплексного переменного и главная нерешённая задача математики., она же двумерная сфера.

Что представляет собой прообраз точки? Пусть $z_1/z_2=c$ фиксировано. Тогда все пары вида $(cz_2,z_2)$ с подходящей нормировкой, а свободы остаётся ровно на умножение на комплексное число единичного модуля $e^{i\varphi}$. Значит,

$$h^{-1}(c)\ \cong\ \text{окружность}.$$

Трёхмерная сфера разложена в объединение окружностей, по одной над каждой точкой двумерной сферы. Это и называется расслоением Хопфа.

И главное свойство: любые две такие окружности зацеплены, как два звена цепи, с коэффициентом зацепления 1. Никакую из них нельзя оттащить от другой, не разорвав.

Отсюда и невозможность стянуть $h$ в точку: постоянное отображение имеет несвязный прообраз-полноту, а зацепленность слоёв — топологическое препятствие. Хопф ввёл целочисленный инвариант Хопфа, равный коэффициенту зацепления двух слоёв; у его отображения он равен единице, у постоянного — нулю.

Картинку стоит посмотреть: при стереографической проекции $S^{3}$ в обычное пространство слои превращаются в семейство окружностей, попарно зацепленных и заполняющих всё пространство, вложенных в торы. Это одно из красивейших изображений в математике, и в интернете легко найти его анимации.

Гомотопические группы сфер

Результат означает, что

$$\pi_3(S^{2})=\mathbb{Z}\ne0,$$

где $\pi_n$ — группа классов отображений $S^{n}$ в данное пространство. Высшие гомотопические группы определит Гуревич в 1935 году; Чех предлагал их ещё в 1932-м на конгрессе в Цюрихе, но конструкцию сочли неинтересной, потому что группы оказались коммутативными, — и он изъял заметку.

Задача, открытая расслоением Хопфа, звучит просто: чему равны $\pi_m(S^{n})$?

Она не решена до сих пор и считается одной из самых глубоких в топологии. Вот фрагмент таблицы, чтобы стало видно, насколько это дико:

Ни закономерности, ни формулы. Известно, что группы конечны при $m>n$ (кроме двух серий) — это теорема СерраЖан-Пьер Серрфранцузский математик · род. 1926Самый молодой филдсовский лауреат в истории — двадцать семь лет — и первый абелевский. Дважды переменил предмет и оба раза оставил после себя аппарат, которым пользуются все. (1951), полученная спектральными последовательностями Лере и принёсшая Филдсовскую медаль 1954 года. Известна «стабильная» часть, не зависящая от $n$ при больших $n$; её вычисление — отдельная индустрия, продвинувшаяся к 2020-м годам примерно до 90-го стабильного столбца, в том числе машинными методами.

Кроме хопфовского, существуют ещё три исключительных расслоения такого рода: $S^{1}\to S^{1}$ (вещественные числа), $S^{3}\to S^{2}$ (комплексные), $S^{7}\to S^{4}$ (кватернионы) и $S^{15}\to S^{8}$ (октонионы). Что других нет, доказал Адамс в 1960 году — знаменитая теорема об инварианте Хопфа, равная утверждению, что алгебры с делением над $\mathbb{R}$ существуют только в размерностях 1, 2, 4 и 8.

Хопф помимо этого

Теорема ПуанкареАнри Пуанкарефранцузский математик, физик и философ науки · 1854–1912Последний универсал математики: создал топологию, увидел хаос там, где все видели порядок, и подошёл к теории относительности вплотную, не сделав последнего шага. — Хопфа (1926): сумма индексов особых точек векторного поля на замкнутом многообразии равна эйлеровой характеристике. Отсюда «нельзя причесать ежа».

Алгебры Хопфа (1941) — структура, обнаруженная им в когомологиях групп Ли; полвека спустя она станет основой квантовых групп Дринфельда.

Гипотеза Хопфа о кривизне и эйлеровой характеристике чётномерных многообразий — открыта.

А расслоение Хопфа вышло далеко за пределы математики. Пространство состояний кубита — двухуровневой квантовой системы — это в точности сфера Блоха, а неопределённость общей фазы даёт слой Хопфа. В той же конструкции описывается монополь ДиракаПоль Дираканглийский физик-теоретик · 1902–1984Написал уравнение, из которого следовало существование античастиц, — и они нашлись. Ввёл дельта-функцию, которую математики двадцать лет считали недопустимой, а потом узаконили., а с 2010-х — топологические состояния в физике конденсированного вещества.

Задача. Проверьте, что отображение $h(z_1,z_2)=z_1/z_2$ корректно определено на всей $S^{3}$, включая точки с $z_2=0$, и что прообраз каждой точки — окружность.
(Указание: при $z_2=0$ значение равно $\infty$ — северному полюсу сферы Римана; его прообраз — множество пар $(z_1,0)$ с $|z_1|=1$, то есть окружность. Для остальных точек: если $h(z_1,z_2)=h(w_1,w_2)$, то $(w_1,w_2)=\lambda(z_1,z_2)$, а условие нормировки даёт $|\lambda|=1$.)

Следующая точка: Кембридж под Бостоном — где докажут, что абстрактное многообразие всегда можно куда-нибудь положить.