Теория пучков — в лагере военнопленных

Обстоятельства

Жан Лере (1906–1998) к 1940 году был известен работами по гидродинамике: в 1934 году он доказал существование слабых решений уравнений Навье — СтоксаДжордж Габриэль Стоксбританский математик и физик · 1819–1903Вывел уравнения движения вязкой жидкости, которые полтора века спустя стали одной из семи Проблем тысячелетия. Занимал кембриджскую кафедру Ньютона пятьдесят четыре года. — результат, который через двадцать лет продолжит Ладыженская, а вопрос о гладкости этих решений войдёт в список задач тысячелетия и стоит там до сих пор. Вместе с Шаудером он построил теорию степени отображения в бесконечномерных пространствах — прямое продолжение работ Брауэра.

В июне 1940 года он попал в плен и до мая 1945-го находился в офлаге XVII-A близ Эдельбаха в Австрии — лагере для пленных офицеров.

И здесь он принял решение, определившее содержание этой точки. Он скрыл свою специальность. Понимая, что специалист по механике жидкости может быть привлечён к работе на германскую военную промышленность, Лере объявил себя топологом — и, чтобы это выглядело правдой, стал им.

В лагере действовал «университет пленных» — организованная самими офицерами система курсов, признанная впоследствии французскими властями; Лере был его ректором и читал курс алгебраической топологии. Курс сохранился и был опубликован в 1945 году; в нём и содержатся оба изобретения.

Пучки

Задача, которую решает пучок, формулируется просто: как собрать глобальное из локального.

Пусть на пространстве нужно задать какие-то данные — функции, векторные поля, сечения. Часто они естественно определяются на маленьких кусках, а склеить их в одно целое мешает препятствие. Классический пример: на листе МёбиусаАвгуст Фердинанд Мёбиуснемецкий математик и астроном · 1790–1868Профессор астрономии, чьё имя носит самая известная поверхность в мире; открыл её в шестьдесят восемь лет, разбирая конкурсную задачу о многогранниках, — и не первым. Главная его работа при этом совсем другая… нельзя выбрать непрерывное направление «вверх» глобально, хотя локально это делается тривиально.

Пучок $\mathcal{F}$ на пространстве $X$ — это правило, сопоставляющее каждому открытому множеству $U$ некоторое множество $\mathcal{F}(U)$ («сечения над $U$»), с операциями ограничения на меньшие множества, причём:

• сечение определяется своими ограничениями на элементы покрытия (локальность);
• согласованные на пересечениях локальные сечения склеиваются в одно (склейка).

Первое условие — «данные не могут различаться, если совпадают всюду локально»; второе — «если куски согласованы, есть и целое».

Когомологии пучка $H^{k}(X,\mathcal{F})$ измеряют, насколько это склеивание может не получаться. Нулевая группа — это глобальные сечения; первая — препятствия к склейке; дальше — препятствия к препятствиям.

Приём оказался универсальным. Через пучки говорят о голоморфных функциях на римановых поверхностях, о решениях дифференциальных уравнений, о рациональных функциях на алгебраических многообразиях. Именно на пучках Серр в 1955 году перестроит алгебраическую геометрию, а Гротендик сделает их основой теории схем.

Спектральные последовательности

Второе изобретение — вычислительное, и оно требует другого объяснения.

Часто интересующая нас величина не считается прямо, но пространство разбивается на слои, и по каждому слою посчитать можно. Нужен способ собрать ответ из послойных данных.

Спектральная последовательность — это машина, делающая это постепенно: она выдаёт последовательность приближений $E_2, E_3, E_4,\dots$, где каждое следующее получается из предыдущего взятием гомологий по некоторому дифференциалу, и при удаче процесс стабилизируется на нужном ответе.

Метафора, которую любят: это как проявлять фотографию. Сначала видны только пятна ($E_2$), потом контуры, потом детали; в какой-то момент изображение перестаёт меняться — оно и есть ответ.

Схема примерно такая: если $F\to E\to B$ — расслоение, то

$$E_2^{p,q}=H^{p}\!\left(B,\ H^{q}(F)\right)\ \Longrightarrow\ H^{p+q}(E).$$

Гомологии базы с коэффициентами в гомологиях слоя дают, после нескольких шагов, гомологии всего пространства.

Мощь метода видна по применениям. СеррЖан-Пьер Серрфранцузский математик · род. 1926Самый молодой филдсовский лауреат в истории — двадцать семь лет — и первый абелевский. Дважды переменил предмет и оба раза оставил после себя аппарат, которым пользуются все. в диссертации 1951 года применил спектральные последовательности к расслоениям Хопфа и получил первые общие теоремы о гомотопических группах сфер — за это Филдсовская медаль 1954 года, самая молодая в истории (ему было 27). Дальше — вычисления в теории когомологий групп, в K-теории, в алгебраической геометрии.

Платой служит трудность освоения: спектральные последовательности имеют репутацию самого непрозрачного аппарата в математике. Известна шутка, что это «машина, в которую с одного конца загружают известное, а с другого получают неизвестное, и никто не понимает, что происходит внутри».

Судьба открытия

Лере изложил результаты в лагерных лекциях, а после освобождения опубликовал их серией заметок в 1946 году. Терминология и техника были непривычны, и разбираться пришлось другим: Анри Картан переработал теорию на своём парижском семинаре (1948–1951), Жан-Луи Кошуль и Роже Годеман придали ей нынешний вид (книга Годемана 1958 года — до сих пор стандартная ссылка).

Лере после войны вернулся и к уравнениям в частных производных: ему принадлежат работы о гиперболических системах и понятие, известное как «проекция Лере». Он занимал кафедру в Коллеж де Франс до 1978 года.

Эта точка, вероятно, самая неожиданная на всей карте по обстоятельствам места. Барак лагеря для военнопленных — место рождения аппарата, без которого не существовало бы ни современной алгебраической геометрии, ни теории гомотопий. И родился он из сознательного решения заниматься тем, что заведомо ни на что не годится.

Задача. Объясните, почему на листе Мёбиуса не существует непрерывного нигде не равного нулю нормального векторного поля, хотя локально оно есть на любом куске.
(Указание: пройдите вдоль средней линии, непрерывно неся вектор нормали; вернувшись в исходную точку, он окажется направленным противоположно. Это и есть простейший пример нетривиальных когомологий пучка: локальные сечения существуют, глобального нет.)

Следующая точка: Энн-Арбор — где, разбираясь в одном слове, изобретут язык для всей математики.