Брауэр: неподвижные точки и отречение

Три года

Лёйтзен Эгберт Ян Брауэр (1881–1966) за короткий срок создаёт технику, без которой топология оставалась бы собранием наблюдений.

Инвариантность размерности (1911). Пространства $\mathbb{R}^{n}$ и $\mathbb{R}^{m}$ гомеоморфны только при $n=m$.

Утверждение кажется само собой разумеющимся, а между тем оно было под серьёзным подозрением. В 1877 году Кантор построил биекцию между отрезком и квадратом: точек в них поровну. Он сам был потрясён и написал ДедекиндуРихард Дедекинднемецкий математик · 1831–1916Определил действительное число через разрез рационального ряда и научил математику работать с бесконечными множествами как с объектами — сорок лет проработав учителем в родном Брауншвейге. знаменитое «я вижу это, но не верю». Правда, его отображение не было непрерывным. Затем Пеано в 1890 году построил непрерывное отображение отрезка на квадрат. Оставалось совсем немного: если найдётся отображение одновременно непрерывное и взаимно однозначное, понятие размерности рухнет. Брауэр доказал, что не найдётся.

Теорема о неподвижной точке (1910–1912).

Всякое непрерывное отображение замкнутого шара $D^{n}$ в себя имеет неподвижную точку: $f(x)=x$.

Одномерный случай — школьный: если $f:[0,1]\to[0,1]$ непрерывна, то функция $g(x)=f(x)-x$ неотрицательна в нуле и неположительна в единице, значит по теореме о промежуточном значении где-то обращается в нуль. Уже для круга элементарного рассуждения нет.

Наглядные следствия, которые любят приводить на лекциях: если положить карту города на землю в этом же городе, найдётся точка карты, лежащая ровно над изображаемым ею местом; если размешать чай в чашке и дать ему остановиться, хотя бы одна частица окажется там же, где была.

Степень отображения (1911). Целое число, показывающее, сколько раз отображение «обматывает» одну сферу вокруг другой. Инструмент, из которого выросли и теория препятствий, и индекс векторного поля.

Теорема о причёсывании ежа (1912). На сфере чётной размерности не существует непрерывного касательного векторного поля без нулей. Отсюда метеорологическое следствие: в каждый момент времени на Земле есть точка, где горизонтальный ветер равен нулю. Позже это станет частным случаем теоремы ПуанкареАнри Пуанкарефранцузский математик, физик и философ науки · 1854–1912Последний универсал математики: создал топологию, увидел хаос там, где все видели порядок, и подошёл к теории относительности вплотную, не сделав последнего шага. — ХопфаХайнц Хопфнемецко-швейцарский математик · 1894–1971Построил отображение трёхмерной сферы на двумерную, которое нельзя стянуть в точку, — и открыл этим высшие гомотопические группы, не вычисленные полностью до сих пор.: сумма индексов особых точек равна эйлеровой характеристике, а у сферы она равна двум и, значит, не нулю.

Доказательство, доступное школьнику

Теорему о неподвижной точке можно доказать комбинаторно, и это стоит знать: лемма Шпернера (1928).

Разобьём треугольник на маленькие треугольнички и раскрасим вершины в три цвета по правилу: вершины большого треугольника получают свои цвета 1, 2, 3; точка на стороне между вершинами $i$ и $j$ красится в цвет $i$ или $j$; внутренние — как угодно.

Лемма Шпернера. При любой такой раскраске найдётся маленький треугольник со всеми тремя цветами. Более того, число таких треугольников нечётно.

Доказательство — подсчёт чётности, буквально в духе задачи о мостах: считаем рёбра с концами цветов 1 и 2 и смотрим, сколько раз они встречаются.

Дальше: измельчая разбиение и применяя лемму, получаем последовательность всё меньших «трёхцветных» треугольников; их предельная точка и оказывается неподвижной. Всё доказательство укладывается в страницу и не требует никакой топологии — только компактность.

Отречение

И тут начинается вторая половина сюжета, одна из самых странных в истории математики.

Примерно с 1908 года Брауэр развивает интуиционизм — философию, по которой математический объект существует, только если его можно построить, а закон исключённого третьего для бесконечных совокупностей недействителен. Доказательство «от противного», устанавливающее существование без предъявления объекта, интуиционист доказательством не считает.

Но все его собственные великие теоремы доказаны именно так. Теорема о неподвижной точке утверждает, что точка есть, и не даёт способа её найти.

Брауэр это осознал — и от своих результатов отказался. С середины 1910-х он занимается почти исключительно основаниями, перестраивая анализ на интуиционистских началах (континуум из «свободно становящихся последовательностей», отказ от классической теории меры). Топологию он бросил на пике.

Ирония завершается тем, что теорема о неподвижной точке имеет и конструктивную версию — алгоритм Скарфа (1967) находит приближённую неподвижную точку с любой точностью. Но появилось это через полвека.

Война с ГильбертомДавид Гильбертнемецкий математик · 1862–1943Человек, сделавший Гёттинген столицей математики и задавший ей повестку на весь XX век — двадцатью тремя проблемами и одной программой, которую сам же и не смог спасти.. Спор об основаниях перерос в личный конфликт. В 1928 году Гильберт, главный редактор «Mathematische Annalen», единолично исключил Брауэра из редколлегии — формально из-за разногласий по поводу участия немцев в международных конгрессах, по существу из-за интуиционизма. Скандал был громким; ЭйнштейнАльберт Эйнштейннемецкий физик-теоретик · 1879–1955Единственный физик в этом справочнике по праву математика: чтобы записать тяготение, ему понадобилась геометрия Римана — и он потратил на её освоение семь лет., тоже член редколлегии, отказался в нём участвовать, назвав происходящее «войной мышей и лягушек» (по древнегреческой пародии на «Илиаду»).

Брауэр после этого практически перестал печататься. Умер он в 1966 году, попав под машину напротив собственного дома.

Наследство

Теорема о неподвижной точке ушла далеко за пределы топологии.

• Экономика. Обобщение Какутани (1941) на многозначные отображения — то, чем Джон Нэш в 1950 году доказал существование равновесия в некооперативных играх, а Эрроу и Дебрё — существование общего экономического равновесия. Нобелевские премии по экономике 1972, 1983 и 1994 годов стоят на теореме, которую автор считал недоказанной.
• Дифференциальные уравнения. Теорема Шаудера (1930) — бесконечномерный аналог; на ней доказываются теоремы существования решений, в том числе для уравнений Навье — Стокса.
• Теорема Лефшеца о неподвижной точке (1926) — алгебраическое обобщение, считающее неподвижные точки через следы отображений в гомологиях.

Задача. Докажите теорему о неподвижной точке для отрезка и объясните, почему то же рассуждение не проходит для круга.
(Ответ: для отрезка — через теорему о промежуточном значении, как в тексте. Для круга функция $g(x)=f(x)-x$ принимает значения в плоскости, и «промежуточного значения» для векторов нет: нельзя сказать, что вектор «меняет знак». Нужен инвариант, отслеживающий, как вектор поворачивается вдоль границы, — то есть степень отображения.)

Следующая точка: Мюнстер — где узлы переведут на язык групп и заодно поставят вопрос, у которого через сорок четыре года не окажется ответа.