Витали и Банах — Тарский: цена аксиомы выбора

Множество Витали

Джузеппе Витали, «Sul problema della misura dei gruppi di punti di una retta», Болонья, 1905.

Вопрос, оставшийся от Лебега: можно ли приписать меру всякому подмножеству прямой так, чтобы мера была неотрицательна, счётно-аддитивна, инвариантна относительно сдвигов, и мера отрезка $[0,1]$ равнялась единице?

Ответ Витали: нет.

Конструкция. На $[0,1]$ введём отношение

$$x\sim y \iff x-y\in\mathbb{Q}.$$

Это отношение эквивалентности; оно разбивает отрезок на классы. Каждый класс — это сдвиги одной точки на все рациональные числа, значит, каждый класс счётен, а классов континуум.

Теперь применим аксиому выбора: выберем из каждого класса по одному представителю. Полученное множество обозначим $V$.

Покажем, что $V$ неизмеримо. Занумеруем рациональные числа отрезка $[-1,1]$: $q_{1},q_{2},\ldots$ и рассмотрим сдвиги $V_{k}=V+q_{k}$.

1. Они попарно не пересекаются. Если $v_{1}+q_{i}=v_{2}+q_{j}$, то $v_1-v_2\in\mathbb{Q}$, значит $v_1\sim v_2$, значит это один и тот же представитель, значит $i=j$.
2. Их объединение зажато: $[0,1]\subseteq\bigcup_{k}V_{k}\subseteq[-1,2]$. Левое включение: для любого $x\in[0,1]$ есть представитель $v$ его класса, и $x-v\in\mathbb{Q}\cap[-1,1]$.

Предположим, что $V$ измеримо и $\lambda(V)=m$. Сдвиг сохраняет меру, значит $\lambda(V_k)=m$ для всех $k$. По счётной аддитивности

$$\lambda\left(\bigcup_{k}V_{k}\right) = \sum_{k=1}^{\infty}m.$$

• Если $m=0$, сумма равна 0, но объединение содержит $[0,1]$ с мерой 1. Противоречие.
• Если $m>0$, сумма равна $+\infty$, но объединение лежит в $[-1,2]$ с мерой 3. Противоречие.

Значит, $V$ неизмеримо. $\blacksquare$

Доказательство целиком доступно школьнику и производит сильное впечатление именно тем, что в нём нет никакой техники — только счётная аддитивность, инвариантность и аксиома выбора.

Парадокс Банаха — Тарского

Стефан Банах и Альфред Тарский, «Sur la décomposition des ensembles de points en parties respectivement congruentes», Fundamenta Mathematicae 6 (1924). Написано во Львове.

Формулировка. Шар в $\mathbb{R}^{3}$ можно разбить на конечное число попарно непересекающихся частей и, применив к каждой части только движения (повороты и параллельные переносы), собрать из них два шара, каждый того же радиуса.

Минимальное число частей — пять (РобинсонРафаэль Робинсонамериканский математик и логик · 1911–1995Свёл набор плиток, замощающих плоскость только непериодически, со ста четырёх до шести — и заодно доказал, что для парадокса Банаха — Тарского хватает пяти кусков., 1947), причём одна из них может быть одноточечной.

Более сильная форма: любые два ограниченных множества с непустой внутренностью равносоставлены. Горошину можно разрезать и собрать из кусков Солнце.

Почему это не противоречит сохранению объёма

Потому что куски неизмеримы. У них нет объёма — не «объём равен нулю» и не «объём бесконечен», а величина не определена. Складывать несуществующие числа и требовать сохранения суммы бессмысленно.

Куски представляют собой невообразимо «рваные» множества — не тела с поверхностью, а всюду плотные облака точек. Никакого физического разрезания тут нет и быть не может.

Откуда берётся парадокс: свободная группа

Механизм стоит объяснить, потому что он изящен.

Возьмём группу вращений сферы. В ней содержится свободная группа с двумя образующими $a$ и $b$ (например, два поворота на угол $\arccos(1/3)$ вокруг перпендикулярных осей). «Свободная» означает: разные слова из букв $a,b,a^{-1},b^{-1}$ дают разные вращения, никаких соотношений нет.

Разобьём все слова на четыре класса по первой букве: $W_{a}, W_{b}, W_{a^{-1}}, W_{b^{-1}}$ (плюс пустое слово). И заметим:

$$a\cdot W_{a^{-1}} = W_{a^{-1}}\cup W_{b}\cup W_{b^{-1}}\cup\{e\}.$$

Действительно, домножив слева на $a$ слово, начинающееся с $a^{-1}$, мы это $a^{-1}$ сокращаем — и получаем слово, начинающееся с чего угодно, кроме $a$.

Одна четвертинка после поворота стала тремя четвертинками. Свободная группа «парадоксальна» сама по себе, и парадокс Банаха — Тарского — это перенос её парадоксальности на точки шара.

Отсюда же видно, почему в размерностях 1 и 2 парадокса нет: группы движений прямой и плоскости разрешимы и не содержат свободных подгрупп. Точный критерий — аменабельность группы (фон НейманДжон фон Нейманвенгеро-американский математик · 1903–1957Аксиоматизировал квантовую механику, основал теорию игр, придумал архитектуру компьютера и метод Монте-Карло — и всё это, по мнению современников, не напрягаясь., 1929): парадоксальные разбиения возможны ровно тогда, когда группа неаменабельна. Для плоскости существует конечно-аддитивная инвариантная мера на всех подмножествах (Банах, 1923), для пространства — нет.

Кстати, о размерности 2: квадратура круга по Тарскому (можно ли разрезать круг и сложить равновеликий квадрат?) оставалась открытой до 1990 года, когда Лацкович ответил утвердительно — примерно $10^{50}$ частей, и переносы без поворотов.

Что с этим делать

Аргумент против аксиомы выбора? Именно так его восприняли многие (БорельЭмиль Борельфранцузский математик, министр и участник Сопротивления · 1871–1956Придумал меру, на которой стоит вся современная теория вероятностей, а потом ушёл в политику — был министром флота, депутатом и сидел в тюрьме при Виши., ЛебегАнри Лебегфранцузский математик · 1875–1941Предложил считать интеграл, разрезая не ось абсцисс, а ось значений, — и получил теорию, в которой предел и интеграл наконец можно менять местами., ЛузинНиколай Николаевич Лузинрусский и советский математик · 1883–1950Создал московскую математическую школу — «Лузитанию», из которой вышло целое поколение, и стал жертвой первого в СССР публичного разгрома учёного. относились к AC с подозрением). Но отказ от AC обходится дорого: без неё нельзя доказать, что всякое векторное пространство имеет базис, что произведение компактов компактно (теорема ТихоноваАндрей Николаевич Тихоновсоветский математик и геофизик · 1906–1993В двадцать лет доказал, что произведение любого числа компактов компактно; через сорок лет научил решать задачи, которые Адамар объявил не имеющими смысла, — и без этого не работала бы ни томография, ни…), что счётное объединение счётных множеств счётно, и многое другое.

Соловей (1970) доказал: если непротиворечива теория ZF с недостижимым кардиналом, то непротиворечива и теория ZF + «зависимый выбор» + «все множества измеримы по Лебегу». То есть можно жить в мире без неизмеримых множеств — ценой отказа от полной аксиомы выбора.

Выбор действительно за нами, и это одна из немногих точек, где школьник может увидеть, что основания математики — предмет решения, а не данность.

Место в линии

Точка о Лебеге рассказывает историю успеха: мера построена, интеграл переживает предельные переходы, всё хорошо. Эта точка показывает цену.

Общий урок: измеримость — не техническая оговорка, которую пишут для строгости, а содержательное ограничение. Условие «пусть $A$ измеримо» в теоремах — не формальность; существуют множества, для которых теорема неверна, и они получаются из вполне невинных на вид рассуждений.