Андрей Николаевич Тихонов

Два главных результата Тихонова разделены сорока годами и относятся к разным наукам: один — чистая топология, другой — прикладной анализ. Общее у них то, что оба стали стандартом.

Теорема Тихонова

В московской школе Александрова и Урысона он оказался восемнадцатилетним студентом. Идея пришла в 1926 году, в двадцать лет; публикация — в 1930-м.

Теорема Тихонова. Произведение любого (в том числе несчётного) семейства компактных пространств компактно в топологии произведения.

Утверждение неочевидно вплоть до недоверия: бесконечное произведение — вещь огромная, и никакой причины сохранять компактность не просматривается. Ключ в том, какую топологию на произведении брать: тихоновская («поточечная») достаточно грубая, чтобы компактность выжила.

Теорема оказалась опорной для всего функционального анализа: из неё выводится теорема Банаха — Алаоглу о слабой компактности шара в сопряжённом пространстве, а из той — существование решений в вариационных задачах. Известно и обратное: теорема Тихонова равносильна аксиоме выбора — то есть за неё приходится платить той же монетой, что и за парадокс Банаха — Тарского.

Ему же принадлежит тихоновское произведение, тихоновские пространства (полная регулярность) и тихоновский куб, в который вкладывается всякое такое пространство.

Регуляризация

Вторая половина жизни — прикладная. С тридцатых Тихонов занимался геофизикой: как по измерениям на поверхности узнать, что под землёй? Это обратная задача, и она устроена скверно.

Адамар ввёл понятие корректности: решение существует, единственно и устойчиво к малому изменению данных. Обратные задачи третьему условию не удовлетворяют: крошечная погрешность измерения даёт огромный разброс ответа. Адамар считал, что такие задачи не имеют физического смысла.

Тихонов в 1963 году показал, что имеют, и придумал, как их решать. Вместо того чтобы минимизировать невязку $\|Ax-b\|^2$, минимизируем

$$\|Ax-b\|^{2} + \alpha\|x\|^{2}.$$

Второе слагаемое штрафует «дикие» решения. Параметр $\alpha$ — компромисс: слишком мал — вернулась неустойчивость, слишком велик — ответ размазан. Задача становится корректной, и при согласованном стремлении $\alpha$ и уровня шума к нулю решение сходится к истинному.

Это регуляризация Тихонова. Область применения оказалась куда шире геофизики: компьютерная томография (снимок восстанавливается по проекциям — обратная задача в чистом виде), обработка изображений, спектроскопия. В статистике та же формула известна как гребневая регрессия, а в машинном обучении — как $L_2$-регуляризация; их придумали независимо, и совпадение обнаружили позже.

Институт

С 1970 года Тихонов — основатель и первый декан факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ, с 1953-го — заместитель директора Института прикладной математики. Занимался расчётами для атомного проекта, вычислительными методами, уравнениями с малым параметром при старшей производной (теорема Тихонова о сингулярных возмущениях).

Умер в 1993 году в Москве.