Московская школа: компактность

Что такое компактность и зачем она

Начнём с наблюдения, ради которого всё затевалось.

На отрезке $[0,1]$ непрерывная функция обязательно достигает максимума. На интервале $(0,1)$ — не обязательно ($f(x)=1/x$ неограниченна). На всей прямой — тоже не обязательно. Что отличает отрезок?

Ответ XIX века: отрезок замкнут и ограничен, а из всякой последовательности в нём можно выбрать сходящуюся подпоследовательность (БольцаноБернард Больцаночешский математик, философ и католический священник · 1781–1848Дал строгое определение предела и непрерывности за четыре года до Коши, построил функцию без производной за полвека до Вейерштрасса — и почти всё это пролежало в столе сто лет. — ВейерштрассКарл Вейерштрасснемецкий математик · 1815–1897Пятнадцать лет учительствовал в провинциальной гимназии, а потом переписал анализ на языке $\varepsilon$ и $\delta$ — и предъявил функцию, у которой нигде нет касательной.). Ответ XX века общее и глубже:

Пространство компактно, если из всякого его покрытия открытыми множествами можно выбрать конечное подпокрытие.

Определение выглядит странно, пока не сформулировать его смысл одной фразой: компактность — это заменитель конечности. У конечных множеств масса приятных свойств: функция на них достигает максимума, любая система непустых вложенных подмножеств имеет общий элемент, любая последовательность имеет повторяющийся член. Компактность позволяет доказывать аналоги всего этого для бесконечных множеств — потому что «бесконечное покрытие сводится к конечному».

Для подмножеств $\mathbb{R}^{n}$ компактность равносильна замкнутости и ограниченности — это теорема Гейне — БореляЭмиль Борельфранцузский математик, министр и участник Сопротивления · 1871–1956Придумал меру, на которой стоит вся современная теория вероятностей, а потом ушёл в политику — был министром флота, депутатом и сидел в тюрьме при Виши. (точка о ней стоит в линии анализа). В общих пространствах эквивалентность рушится, и покрытийное определение оказывается единственно правильным.

Александров и Урысон

Павел Сергеевич Александров (1896–1982) и Павел Самуилович Урысон (1898–1924) — двое молодых московских математиков, ученики ЛузинаНиколай Николаевич Лузинрусский и советский математик · 1883–1950Создал московскую математическую школу — «Лузитанию», из которой вышло целое поколение, и стал жертвой первого в СССР публичного разгрома учёного.. Летом 1922 года они начали совместную работу, которая стала «Mémoire sur les espaces topologiques compacts» — мемуаром о компактных топологических пространствах.

Сделано в нём было следующее.

Понятие бикомпактности. Именно они выделили покрытийное определение (в советской традиции его долго называли бикомпактностью, отличая от секвенциальной компактности) и показали, что оно — правильное.

Теорема Урысона о метризации. Всякое хаусдорфово регулярное пространство со счётной базой метризуемо, то есть его топологию можно задать расстоянием. Впервые получен критерий: когда абстрактное пространство Хаусдорфа сводится к метрическому Фреше.

Лемма Урысона. Если $A$ и $B$ — непересекающиеся замкнутые множества в нормальном пространстве, существует непрерывная функция $f:X\to[0,1]$, равная нулю на $A$ и единице на $B$. Утверждение выглядит техническим, а на деле это единственный способ построить хоть какую-нибудь непрерывную функцию на пространстве, о котором ничего не известно; вся общая топология стоит на нём.

17 августа 1924 года Урысон утонул, купаясь в Атлантическом океане у берегов Бретани, в местечке Ба-сюр-Мер. Ему было двадцать шесть лет. Александров, бывший рядом, до конца жизни занимался изданием его работ; мемуар вышел посмертно, в 1929 году.

ТихоновАндрей Николаевич Тихоновсоветский математик и геофизик · 1906–1993В двадцать лет доказал, что произведение любого числа компактов компактно; через сорок лет научил решать задачи, которые Адамар объявил не имеющими смысла, — и без этого не работала бы ни томография, ни…

Андрей Николаевич Тихонов (1906–1993) пришёл к результату совсем молодым: идея — в 1926 году, в двадцать лет, публикация — в 1930-м.

Теорема Тихонова. Произведение любого (в том числе несчётного) семейства компактных пространств компактно в топологии произведения.

Утверждение поразительное. Возьмите бесконечно много отрезков и перемножьте — получится бесконечномерный куб, и он останется компактным. Никакая интуиция такого не подсказывает.

Значение теоремы огромно: на ней стоят теорема БанахаСтефан Банахпольский математик · 1892–1945Дал функциональному анализу аксиомы и имя, а математике — образ школы, работающей в кафе за столиком с мраморной столешницей. — Алаоглу в функциональном анализе (единичный шар сопряжённого пространства компактен в слабой топологии), теорема компактности в теории моделей, теорема Стоуна о представлении булевых алгебр.

Отдельный сюжет — её связь с аксиомой выбора. Тихонов пользуется выбором, и в 1950 году Джон Келли доказал, что иначе нельзя: теорема Тихонова эквивалентна аксиоме выбора. Любопытно, что для хаусдорфовых сомножителей она слабее — равносильна лишь теореме о простом идеале в булевой алгебре. Так топологическая теорема оказалась точной мерой одной из аксиом теории множеств.

Тот же Тихонов позже создаст теорию регуляризации некорректных задач (точка в функциональном анализе) — редкий случай, когда один человек оставил след и в самой абстрактной части математики, и в прикладной.

Школа

Из этой точки вырастает московская топологическая школа: Александров руководил кафедрой в МГУ более сорока лет, вёл семинар, через который прошли ПонтрягинЛев Семёнович Понтрягинсоветский математик · 1908–1988Ослеп в тринадцать лет и всё считал в уме; построил двойственность топологических групп, характеристические классы и принцип максимума — три вещи из разных наук, каждая из которых пережила автора., Новиков, Постников, Болтянский, Фукс. Его учебники и книга «Topologie» (1935), написанная вместе с Хопфом, сделали слово «топология» общепринятым.

С Александровым связана и одна из самых известных дружб в истории математики — с Колмогоровым: они прожили вместе более полувека, деля дом в Комаровке.

Наконец, ему принадлежит компактификация Александрова: к некомпактному пространству добавляется одна точка «бесконечность», и оно становится компактным. Прямая, дополненная одной точкой, превращается в окружность; плоскость — в сферу (сфера РиманаБернхард Риманнемецкий математик · 1826–1866Прожил тридцать девять лет и оставил около десяти работ — из которых выросли современная геометрия, теория функций комплексного переменного и главная нерешённая задача математики.). Простейший и самый употребительный приём общей топологии.

Задача. Докажите, что интервал $(0,1)$ некомпактен, предъявив открытое покрытие без конечного подпокрытия.
(Ответ: возьмите $U_n=\left(\frac1n,1-\frac1n\right)$ при $n\geqslant3$. Объединение даёт весь интервал, но любое конечное число этих множеств содержится в наибольшем из них и не покрывает точки, близкие к нулю и единице.)

Следующая точка: Принстон — где предъявят сферу, у которой снаружи всё устроено неправильно.