Карта → событие
Фреше: пространство без чисел
Диссертация
«Sur quelques points du calcul fonctionnel», Париж, 1906. Руководитель — Жак АдамарЖак АдамарДоказал теорему о распределении простых чисел — одновременно и независимо с Валле-Пуссеном, без единого слова спора о приоритете. Прожил девяносто семь лет и написал книгу о том, как математики думают..
Задача, из которой всё выросло, звучала так. К началу XX века накопилось много теорем, каждая из которых доказывалась заново для своего объекта: сходимость числовых последовательностей, сходимость функций, сходимость кривых, компактность множеств чисел и множеств функций. Доказательства были подозрительно похожи.
Фреше спросил: что именно в них используется?
Определение
Метрическое пространство — множество $X$ с функцией $d:X\times X\to[0,\infty)$ («écart», расстояние), удовлетворяющей:
- $d(x,y)=0 \iff x=y$;
- $d(x,y)=d(y,x)$;
- $d(x,z)\leqslant d(x,y)+d(y,z)$ — неравенство треугольника.
Всё. Ни сложения, ни умножения, ни чисел в самом $X$. Элементы могут быть чем угодно.
Этого хватает, чтобы определить сходимость ($d(x_{n},x)\to0$), фундаментальность, открытость, замкнутость, непрерывность, компактность, полноту — и доказать про них теоремы один раз для всех случаев сразу.
Примеры, показывающие силу абстракции
| Пространство | Метрика | Что означает сходимость |
|---|---|---|
| $\mathbb{R}$ | $\vert x-y\vert$ | обычная |
| $\mathbb{R}^{n}$ | $\sqrt{\sum(x_i-y_i)^{2}}$ | покоординатная |
| $C[a,b]$ | $\max_{x}\vert f(x)-g(x)\vert$ | равномерная сходимость |
| $L^{1}$ | $\int\vert f-g\vert$ | сходимость в среднем |
| $\ell^{2}$ | $\sqrt{\sum(x_i-y_i)^{2}}$ | в среднем квадратичном |
| Любое множество | $d=1$ при $x\ne y$ | только стабилизация |
| Слова длины $n$ | число различающихся букв | метрика Хэмминга |
| $\mathbb{Q}$ | $\vert x-y\vert_{p}$ | $p$-адическая |
Ключевое наблюдение для нашей линии. Строка про $C[a,b]$: равномерная сходимость (Вейерштрасс) — это обычная сходимость в метрическом пространстве непрерывных функций. Понятие, потребовавшее у ВейерштрассаКарл ВейерштрассПятнадцать лет учительствовал в провинциальной гимназии, а потом переписал анализ на языке $\varepsilon$ и $\delta$ — и предъявил функцию, у которой нигде нет касательной. тонкой перестановки кванторов, оказывается частным случаем простейшего определения, если правильно выбрать пространство.
Это и есть выигрыш абстракции: сложное понятие в одном контексте становится тривиальным в другом.
Компактность
Второй важнейший вклад Фреше — перенос компактности на общий случай.
В $\mathbb{R}^{n}$ компактность равносильна замкнутости и ограниченности (теорема Гейне — БореляЭмиль БорельПридумал меру, на которой стоит вся современная теория вероятностей, а потом ушёл в политику — был министром флота, депутатом и сидел в тюрьме при Виши., см. точку о Гейне и Бореле). Фреше показывает, что в бесконечномерном случае это неверно, и это принципиально.
Пример. Единичный шар в $\ell^{2}$ замкнут и ограничен. Возьмём последовательность базисных векторов $e_{1}=(1,0,0,\ldots)$, $e_{2}=(0,1,0,\ldots)$, ... Расстояние между любыми двумя равно $\sqrt2$, значит никакая подпоследовательность не сходится. Шар не компактен.
Это фундаментальная трудность всего функционального анализа. В конечной размерности из ограниченной последовательности всегда можно выбрать сходящуюся; в бесконечной — нет. Отсюда все сложности с существованием минимумов (принцип Дирихле!) и вся техника слабой сходимости и рефлексивности, разработанная позднее.
Фреше вводит критерий компактности в $C[a,b]$ — теорему Арцела́ — Асколи: семейство функций предкомпактно тогда и только тогда, когда оно равномерно ограничено и равностепенно непрерывно. Второе условие — то, чего не хватает в бесконечной размерности.
Другие понятия Фреше
- Производная Фреше: обобщение производной на нормированные пространства. $f$ дифференцируема в $x$, если $f(x+h)=f(x)+Ah+o(\|h\|)$ с ограниченным линейным $A$. Основа вариационного исчисления в современной форме и теории оптимизации.
- Пространства Фреше: полные метризуемые локально выпуклые пространства — класс, включающий $C^{\infty}$ и пространство пробных функций Шварца. Без них теория распределений не формулируется.
- Ранняя работа по абстрактным пространствам с другими аксиоматиками («L-пространства» с заданной операцией предела) — предшественник общей топологии Хаусдорфа (1914).
- Позже — вклад в теорию вероятностей: Фреше был одним из немногих, кто до КолмогороваАндрей Николаевич КолмогоровДал вероятности аксиомы, турбулентности — закон, сложности — определение, а школьной математике в СССР — программу, по которой учились миллионы. работал над её аксиоматизацией, и вёл переписку с ним; распределение Фреше в теории экстремальных значений.
Почему это точка второй очереди
Потому что точка о Банахе сейчас появляется без предыстории. У читателя складывается впечатление, будто идея «функция как точка пространства» пришла БанахуСтефан БанахДал функциональному анализу аксиомы и имя, а математике — образ школы, работающей в кафе за столиком с мраморной столешницей. в 1920 году. На деле:
| Год | Автор | Вклад |
|---|---|---|
| 1904–10 | ГильбертДавид ГильбертЧеловек, сделавший Гёттинген столицей математики и задавший ей повестку на весь XX век — двадцатью тремя проблемами и одной программой, которую сам же и не смог спасти. | Конкретное бесконечномерное пространство $\ell^{2}$, спектральная теория |
| 1906 | Фреше | Абстрактное метрическое пространство; компактность |
| 1907 | РиссФридьеш РиссПостроил пространства функций, в которых предел ведёт себя как в обычном пространстве, и первым описал линейные функционалы через интеграл., ФишерРональд ФишерПридумал почти всё, чем статистика пользуется сегодня, — дисперсионный анализ, рандомизацию, максимум правдоподобия, p-значение, — работая на сельскохозяйственной опытной станции. | $L^{2}$ полно; изоморфизм $L^{2}\cong\ell^{2}$ |
| 1914 | ХаусдорфФеликс ХаусдорфДал определение топологического пространства, на котором предмет стоит до сих пор; половину жизни писал под псевдонимом эссе, стихи и пьесы, и многие знакомые не знали, что это один человек. | Топологическое пространство |
| 1920–22 | Банах, Винер | Аксиомы нормированного пространства |
| 1932 | Банах | Три основные теоремы; дисциплина оформлена |
Банах довёл до конца линию, у которой было по меньшей мере пятнадцать лет предыстории. Фреше — её начало.