Вейерштрасс: ε–δ и «монстр»

Самая необычная карьера в математике XIX века

Карл Вейерштрасс (1815–1897) по настоянию отца учился на камералиста (финансовое право) в Бонне, четыре года пил, фехтовал и не сдал ни одного экзамена. Затем окончил Мюнстерскую академию и пятнадцать лет преподавал в провинциальных гимназиях — математику, физику, ботанику, географию, чистописание и гимнастику. Ночами занимался абелевыми функциями, публиковаться было негде.

В 1854 году он напечатал в «Журнале Крелле» работу «Zur Theorie der Abelschen Functionen». Эффект был мгновенный: Кёнигсбергский университет присудил ему почётную докторскую степень, а в 1856-м он получил место в Берлине. Ему был 41 год.

В Берлине сложился знаменитый триумвират: Вейерштрасс, КуммерЭрнст Куммернемецкий математик · 1810–1893Обнаружил, что в кольцах алгебраических чисел разложение на простые множители перестаёт быть однозначным, — и придумал «идеальные числа», чтобы её вернуть., КронекерЛеопольд Кронекернемецкий математик · 1823–1891«Бог создал целые числа, всё остальное — дело рук человеческих». Требовал, чтобы всякий объект строился за конечное число шагов, и травил Кантора за бесконечности — а сам оставил теоремы, без которых нет ни…. Лекции Вейерштрасса стали центром притяжения для всей Европы; при этом сам он публиковал мало, и его результаты расходились в конспектах слушателей. Среди учеников — Софья КовалевскаяСофья Васильевна Ковалевскаярусский математик и писательница · 1850–1891Нашла третий и последний интегрируемый случай вращения тяжёлого волчка — после Эйлера и Лагранжа. Метод оказался важнее результата, а премию Парижской академии за него повысили с трёх до пяти тысяч франков., которую Берлинский университет не принимал (женщин не допускали), и Вейерштрасс шесть лет занимался с ней частным образом, а затем добился для неё докторской степени в Гёттингене in absentia.

ε–δ: то, чего не хватало сто пятьдесят лет

$$\lim_{x\to x_{0}} f(x) = L \iff \forall\varepsilon>0\ \exists\delta>0:\ 0<|x-x_{0}|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon.$$

$$f \text{ непрерывна в } x_{0} \iff \forall\varepsilon>0\ \exists\delta>0:\ |x-x_{0}|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_{0})|<\varepsilon.$$

Что здесь принципиально нового по сравнению с КошиОгюстен Луи Кошифранцузский математик · 1789–1857Первым потребовал от анализа доказательств вместо очевидности — и первым написал учебник, по которому это можно было выучить. и БольцаноБернард Больцаночешский математик, философ и католический священник · 1781–1848Дал строгое определение предела и непрерывности за четыре года до Коши, построил функцию без производной за полвека до Вейерштрасса — и почти всё это пролежало в столе сто лет., которые говорили примерно то же словами?

Исчезло движение. У Коши переменная «неограниченно приближается», «стремится», «становится». Это описание процесса во времени — метафора, которая не является математическим объектом. У Вейерштрасса нет никакого процесса: есть статическое утверждение о двух числах и одной импликации, проверяемое конечной логической процедурой.

Это же снимает и вопрос Беркли, но иначе, чем у Коши: бесконечно малых нет вовсе — ни как чисел, ни как процессов. Есть только неравенства.

Равномерная непрерывность. Разница видна сразу, как только определения записаны с кванторами:

$$\text{непрерывность: } \forall x_{0}\ \forall\varepsilon\ \exists\delta \qquad\text{против}\qquad \text{равномерная: } \forall\varepsilon\ \exists\delta\ \forall x_{0}.$$

Порядок кванторов — вот и всё различие, и оно решающее. Функция $f(x)=1/x$ на $(0,1)$ непрерывна, но не равномерно: подходящее $\delta$ зависит от того, где мы находимся.

Равномерная сходимость (то, чего не хватало Коши в его точке):

$$f_{n}\rightrightarrows f \iff \sup_{x}|f_{n}(x)-f(x)| \to 0.$$

Признак Вейерштрасса (M-тест): если $|u_n(x)|\leqslant M_n$ для всех $x$ и $\sum M_n<\infty$, то $\sum u_n(x)$ сходится равномерно.

Монстр

18 июля 1872 года Вейерштрасс докладывает Берлинской академии функцию

$$W(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a^{n}\cos\left(b^{n}\pi x\right),$$

где $0<a<1$, $b$ — нечётное целое, и

$$ab > 1 + \frac{3\pi}{2}.$$

Непрерывность — мгновенно из M-теста: $|a^n\cos(\cdot)|\leqslant a^n$, ряд $\sum a^n$ сходится, значит сходимость равномерна, а равномерный предел непрерывных функций непрерывен.

Недифференцируемость ни в одной точке — существенно тяжелее, и доказательство занимает несколько страниц.

Как это понимать. Каждое слагаемое — косинус с амплитудой $a^n$ (убывает) и частотой $b^n$ (растёт). Условие $ab>1$ означает, что частота растёт быстрее, чем падает амплитуда: наклон каждой новой волны, равный примерно $(ab)^n$, неограниченно растёт. Сколько ни увеличивай масштаб, обнаруживается новая рябь того же характера. Это фрактал: у графика есть дробная размерность, которая при подходящих параметрах равна

$$D = 2 + \frac{\ln a}{\ln b} \in (1,2).$$

Гладкая кривая имеет размерность 1; кривая Вейерштрасса «шершавее» линии, но не заполняет плоскость.

Почему это был удар

До 1872 года почти все считали, что непрерывная функция дифференцируема «почти везде» — в худшем случае с конечным числом изломов. Ампер даже опубликовал «доказательство» этого. На этой убеждённости стояли многие рассуждения физиков и математиков.

Монстр показал: непрерывность и дифференцируемость — совершенно разные свойства, и типичная непрерывная функция нигде не дифференцируема. В XX веке БанахСтефан Банахпольский математик · 1892–1945Дал функциональному анализу аксиомы и имя, а математике — образ школы, работающей в кафе за столиком с мраморной столешницей. и Мазуркевич докажут это в точном смысле: множество нигде не дифференцируемых функций в пространстве $C[0,1]$ топологически массивно (его дополнение — множество первой категории). Функция вроде $x^2$ — исключение, а не правило.

Реакция была бурной. ЭрмитШарль Эрмитфранцузский математик · 1822–1901Доказал трансцендентность числа $e$ — и отказался браться за $\pi$, сказав, что не рискнёт; через девять лет это сделал Линдеман тем же методом. писал Стилтьесу (1893):

Я отворачиваюсь в страхе и ужасе от этой прискорбной язвы — функций, не имеющих производных.

ПуанкареАнри Пуанкарефранцузский математик, физик и философ науки · 1854–1912Последний универсал математики: создал топологию, увидел хаос там, где все видели порядок, и подошёл к теории относительности вплотную, не сделав последнего шага. называл такие объекты «монстрами» и сетовал, что раньше функции изобретались ради приложений, а теперь их изобретают, чтобы уличить в несостоятельности рассуждения предшественников.

Ирония в том, что монстры оказались нормой природы. Броуновская траектория непрерывна и нигде не дифференцируема (Винер, 1923). Береговая линия, кровеносное русло, ценовой график — всё это объекты той же породы. В 1975 году МандельбротБенуа Мандельбротфранцузско-американский математик · 1924–2010Собрал разрозненных «математических монстров» XIX века в одну геометрию, дал ей имя «фрактал» и показал, что она описывает берег, облако, лёгкое и биржевой график. превратит «язву» Эрмита в отдельную науку.

Приоритет: Больцано построил похожую функцию около 1830 года (Больцано), но его текст пролежал в архиве до 1930-го.

Противовес: теорема об аппроксимации

Чтобы картина не была односторонней, стоит назвать и обратный результат того же Вейерштрасса (1885):

Всякая непрерывная на отрезке функция может быть равномерно приближена многочленами с любой точностью.

Формально: для любых $f\in C[a,b]$ и $\varepsilon>0$ найдётся многочлен $P$ с $\sup_{[a,b]}|f-P|<\varepsilon$.

То есть монстр Вейерштрасса сколь угодно точно приближается многочленами — просто степени растут, а производные приближений разбегаются. Непрерывность легко имитируется; гладкость — нет.

Программа «арифметизации анализа»

Вейерштрасс поставил задачу: свести весь анализ к натуральным числам и логике, изгнав геометрическую интуицию полностью. Для этого требовалось построить вещественные числа — и он это сделал в лекциях (через ряды рациональных чисел), хотя не опубликовал.

Опубликовали другие — в том же 1872 году.

Следующая точка: Брауншвейг — что такое, наконец, вещественное число.