Коши: предел как основа всего

Две книги

Огюстен Луи Коши (1789–1857), профессор Политехнической школы, издаёт учебные курсы:

• «Cours d'analyse de l'École Royale Polytechnique» (1821) — пределы, непрерывность, ряды;
• «Résumé des leçons données à l'École Royale Polytechnique sur le calcul infinitésimal» (1823) — производная, интеграл, основная теорема;
• «Leçons sur le calcul différentiel» (1829) — доработка.

Программное заявление во введении к «Cours d'analyse»: Коши прямо отказывается от рассуждений, основанных на общности алгебраических формул, и требует доказательств, извлечённых из самих определений.

Определения

Предел. Когда значения переменной неограниченно приближаются к фиксированному значению так, что отличаются от него меньше чем на любую заданную величину, это последнее называют пределом.

Кванторов ещё нет, но структура «$\forall$ заданная величина $\exists$ момент» уже проступает.

Бесконечно малая. У Коши это не число, а переменная величина, стремящаяся к нулю. Гениальный ход: он не отвечает на вопрос Беркли «что такое $dx$» — он переформулирует вопрос так, что тот исчезает. Бесконечно малая — процесс, а не объект.

Непрерывность. $f$ непрерывна, если бесконечно малому приращению аргумента отвечает бесконечно малое приращение функции.

Производная.

$$f'(x) = \lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h},$$

причём Коши подчёркивает: производная — это предел отношения, а не отношение «последних» приращений. Разница с НьютономИсаак Ньютонанглийский математик, физик и астроном · 1643–1727Создатель анализа, механики и оптики, четверть века проработавший начальником Монетного двора и потративший на алхимию и богословие больше бумаги, чем на физику. тонкая, но принципиальная.

Интеграл. Коши определяет его независимо от первообразной, как предел сумм

$$S = \sum_{i=1}^{n} f(x_{i-1})(x_{i}-x_{i-1}),$$

при измельчении разбиения — и доказывает существование этого предела для непрерывных функций. Это огромный шаг: до Коши интеграл понимали как «то, дифференцирование чего даёт подынтегральную функцию», и существование площади принималось на веру.

Основная теорема доказывается как теорема, а не постулируется.

Теорема Коши о среднем. Если $f, g$ непрерывны на $[a,b]$, дифференцируемы на $(a,b)$ и $g'\ne0$, то найдётся $\xi\in(a,b)$:

$$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}.$$

Именно на ней стоит строгое доказательство правила Лопиталя — через 127 лет после самого правила.

Признаки сходимости рядов: критерий Коши, радикальный признак ($\limsup\sqrt[n]{|a_n|}<1$), признак сравнения, теорема о произведении рядов. До Коши сходимость почти не проверяли.

Знаменитая ошибка

«Cours d'analyse», глава VI, § 1, теорема I утверждает:

Если члены ряда — непрерывные функции и ряд сходится, то его сумма непрерывна.

Это неверно, и контрпример уже лежал на столе — ряд ФурьеЖозеф Фурьефранцузский математик, физик и префект Изера · 1768–1830Утверждал, что любую функцию можно сложить из синусов, — и был не прав ровно настолько, чтобы математике понадобилось сто лет и три новые теории, чтобы разобраться. прямоугольной волны (Фурье): все члены гладкие, сходимость есть, сумма разрывна.

Проще всего показать это на последовательности (а не ряде): $f_n(x) = x^{n}$ на $[0,1]$. Каждая функция непрерывна; предел равен 0 при $x<1$ и 1 при $x=1$ — разрывен.

В чём дело. Сходимость $f_n\to f$ бывает разная:

• поточечная: для каждого $x$ отдельно $f_n(x)\to f(x)$;
• равномерная: $\displaystyle\sup_{x}|f_n(x)-f(x)|\to0$, то есть одна и та же скорость сходимости годится сразу для всех $x$.

Непрерывность предела сохраняется при равномерной сходимости. Коши этого различия не видел — и, что важнее, никто не видел: понятия сходимости функциональной последовательности как отдельного объекта ещё не было.

АбельНильс Хенрик Абельнорвежский математик · 1802–1829Доказал, что формулы для уравнения пятой степени не существует, и потребовал от математики строгости, которой она тогда не знала, — за шесть лет работы и двадцать шесть лет жизни. в 1826 году, работая над биномиальным рядом, деликатно заметил, что теорема Коши, по-видимому, допускает исключения, и привёл контрпример $\sum \frac{(-1)^{n-1}}{n}\sin nx$. Понятие равномерной сходимости независимо ввели Зейдель и СтоксДжордж Габриэль Стоксбританский математик и физик · 1819–1903Вывел уравнения движения вязкой жидкости, которые полтора века спустя стали одной из семи Проблем тысячелетия. Занимал кембриджскую кафедру Ньютона пятьдесят четыре года. (оба 1847), в законченном виде — ВейерштрассКарл Вейерштрасснемецкий математик · 1815–1897Пятнадцать лет учительствовал в провинциальной гимназии, а потом переписал анализ на языке $\varepsilon$ и $\delta$ — и предъявил функцию, у которой нигде нет касательной. в берлинских лекциях. Сам Коши опубликовал исправленную формулировку в 1853 году.

Любопытная оговорка. Существует влиятельная точка зрения (Лакатос, Лаугвиц, Кац), что Коши не ошибался: под «сходится» он мог понимать сходимость и в бесконечно близких точках, а при таком чтении теорема верна и равносильна равномерной сходимости на языке нестандартного анализа. Спор не решён. Для урока полезно и то и другое: сначала показать ошибку, потом сказать, что даже «очевидные» ошибки классиков бывают спорны.

Приём студентов

Коши читал очень абстрактно для инженерной школы. Сохранились жалобы студентов и нарекания администрации: Политехническая школа готовила артиллеристов и мостостроителей, а им предлагали доказательства существования интеграла. Совет школы официально просил Коши вернуться к более прикладному изложению; он не вернулся.

Утешительная деталь для всех, кто преподаёт: лучший учебник века был признан студентами неудобным.

Человек

Коши был убеждённым легитимистом и ревностным католиком. После Июльской революции 1830 года он отказался присягать Луи-Филиппу, потерял все должности и уехал в добровольное изгнание — Фрибур, Турин, затем Прага (гувернёр внука Карла X). Вернулся в 1838 году; кафедру смог занять только после 1848-го, когда присягу отменили.

Он был также одним из плодовитейших математиков в истории (789 работ) и основателем комплексного анализа: интегральная теорема (1825), формула Коши, вычеты, условия Коши — РиманаБернхард Риманнемецкий математик · 1826–1866Прожил тридцать девять лет и оставил около десяти работ — из которых выросли современная геометрия, теория функций комплексного переменного и главная нерешённая задача математики.. Это отдельная линия карты, но стоит помнить, что вопрос о радиусе сходимости ряда Тейлора объясняется именно оттуда.

Следующая точка: Гёттинген — один день, в который родились две математики.