Ряд Тейлора

Формула

$$f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^{2} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^{n}.$$

Содержание: вся информация о функции в окрестности точки закодирована в значениях её производных в этой одной точке. Утверждение, если вдуматься, поразительное — и, как выяснится, не всегда верное.

Как Тейлор её получил: из конечных разностей

Это важно, потому что объясняет и происхождение факториалов, и почему формула появилась именно в 1715 году.

Брук Тейлор (1685–1731), секретарь Королевского общества, работал в русле ньютоновского исчисления конечных разностей. Введём разностный оператор $\Delta f(x) = f(x+h)-f(x)$. Формула Ньютона для интерполяции:

$$f(a+nh) = \sum_{k=0}^{n} C_{n}^{k}\,\Delta^{k}f(a),$$

где $C_n^k$ — обычные биномиальные коэффициенты. Это точное конечное тождество (докажите индукцией — хорошее упражнение).

Теперь устремим $h\to0$ и $n\to\infty$ так, чтобы $nh = x - a$ оставалось постоянным. Заметим:

$$C_{n}^{k} = \frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!} \approx \frac{n^{k}}{k!}, \qquad \frac{\Delta^{k}f(a)}{h^{k}} \to f^{(k)}(a).$$

Поэтому

$$C_{n}^{k}\,\Delta^{k} f(a) \;=\; \frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)\,h^{k}}{k!}\cdot\frac{\Delta^{k}f(a)}{h^{k}} \;\longrightarrow\; \frac{(x-a)^{k}}{k!}\,f^{(k)}(a).$$

Суммируя по $k$, получаем ряд Тейлора. Факториал в знаменателе — прямой потомок биномиального коэффициента $C_n^k$.

Разумеется, все предельные переходы здесь сделаны без всякого обоснования — двойной предел, перестановка предела и суммирования, сходимость. Ничего этого в 1715 году нет и не может быть.

Приоритеты

• Джеймс Грегори (Сент-Эндрюс, ок. 1671) — имел общий метод и получил ряды для $\arctg$, $\tg$, $\sec$, $\ln\sec$ и других. Его записи опубликованы только в XX веке.
• НьютонИсаак Ньютонанглийский математик, физик и астроном · 1643–1727Создатель анализа, механики и оптики, четверть века проработавший начальником Монетного двора и потративший на алхимию и богословие больше бумаги, чем на физику. — знал существо дела с 1660-х, применял в «De analysi».
• Иоганн БернуллиБернуллишвейцарская династия математиков · XVII–XVIII векаВосемь математиков в трёх поколениях одной базельской семьи — и почти столько же ссор между ними; на их фамилию приходится закон больших чисел, вариационное исчисление и уравнение гидродинамики. (1694) — опубликовал эквивалентную формулу через повторное интегрирование по частям. Он и обвинял Тейлора в заимствовании.
• МадхаваМадхава из Сангамаграмыиндийский математик и астроном · около 1340 — около 1425Получил ряды для арктангенса, синуса и косинуса за триста лет до Тейлора и Лейбница, посчитал π с одиннадцатью верными знаками — и всё это в Керале, откуда результаты в Европу не дошли. (ок. 1400) — по существу имел ряды для $\sin$, $\cos$, $\arctg$ (Мадхава), но не общую формулу.
• Колин Маклорен (1742) — частный случай $a=0$; сам он приоритета не заявлял и честно ссылался на Тейлора.

Важность формулы осознали только после Лагранжа, который в 1772 году назвал её «основным принципом дифференциального исчисления» и попытался построить на ней весь анализ.

Остаток и почему он необходим

Ряд — это бесконечная сумма, и надо знать, что теряется при обрыве. Формула Тейлора с остатком в форме Лагранжа (1797):

$$f(x) = \sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^{k} + \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1},$$

где $\xi$ — некоторая точка между $a$ и $x$.

При $n=0$ это в точности теорема Лагранжа о среднем: $f(x) = f(a) + f'(\xi)(x-a)$. Формула Тейлора — её многоступенчатое обобщение.

Практический пример. Оценим $\sin 0{,}1$ по $\sin x \approx x - x^{3}/6$. Остаток: $\left|\dfrac{f^{(5)}(\xi)}{120}x^{5}\right| \leqslant \dfrac{0{,}1^{5}}{120} \approx 8{,}3\cdot10^{-8}$. Значит, $\sin 0{,}1 = 0{,}0998334\ldots$ с гарантированными семью знаками. Вот зачем нужен остаток: без него формула даёт число, но не даёт права ему верить.

Ловушка, погубившая программу Лагранжа

Лагранж в «Théorie des fonctions analytiques» (1797) поставил амбициозную цель: избавить анализ и от бесконечно малых, и от пределов. Идея — определить производную как коэффициент при $(x-a)$ в разложении функции в степенной ряд. Тогда никаких $dx$ и никаких «стремится к»: чистая алгебра рядов.

Программа провалилась, и вот на чём. Рассмотрим

$$f(x) = \begin{cases} e^{-1/x^{2}}, & x \ne 0,\\ 0, & x = 0.\end{cases}$$

Эта функция бесконечно дифференцируема всюду, включая нуль, и все её производные в нуле равны нулю:

$$f(0)=f'(0)=f''(0)=\cdots=0.$$

(Причина: любая производная имеет вид $P(1/x)\,e^{-1/x^{2}}$ с многочленом $P$, а экспонента убывает быстрее любой степени.)

Значит, её ряд Тейлора в нуле — тождественный нуль:

$$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n} \equiv 0 \ne f(x)\ \text{при } x\ne0.$$

Ряд сходится всюду — и не к той функции. Пример принадлежит КошиОгюстен Луи Кошифранцузский математик · 1789–1857Первым потребовал от анализа доказательств вместо очевидности — и первым написал учебник, по которому это можно было выучить. (1823).

Вывод, который придётся усвоить математике XIX века: «бесконечно дифференцируемая» и «аналитическая» — разные вещи. Первая — про существование производных, вторая — про представимость рядом. Над $\mathbb{C}$ они совпадают (это чудо комплексного анализа), над $\mathbb{R}$ — нет.

Провал программы Лагранжа не был бесплодным: от него остались обозначение $f'(x)$, слово «производная» (fonction dérivée) и убеждение, что анализ надо строить на чём-то основательном. Основательным окажется предел — Коши.

Заодно: почему ряд может расходиться

Даже для приличных функций область сходимости бывает загадочно мала. Ряд для $\dfrac{1}{1+x^{2}}$ в нуле:

$$1 - x^{2} + x^{4} - x^{6} + \cdots$$

сходится только при $|x|<1$, хотя сама функция гладкая на всей прямой и никаких особенностей не имеет. Почему радиус равен единице?

Ответ виден только в комплексной плоскости: у функции есть полюсы в $x = \pm i$, на расстоянии 1 от нуля. Радиус сходимости равен расстоянию до ближайшей особенности — но особенность лежит вне вещественной оси, и на прямой её не разглядеть.

Это одно из лучших мест в школьном курсе, чтобы показать: вещественный анализ не самодостаточен. Часть его фактов имеет объяснение только этажом выше.

Следующая точка: Дублин — епископ задаёт вопрос, на который никто не сможет ответить девяносто лет.