Ряды Мадхавы: анализ не там, где мы привыкли

Школа

Мадхава из Сангамаграмы (ок. 1340–1425) — астроном и математик из деревни близ Кочина на Малабарском побережье. Основанная им традиция — Керальская школа астрономии и математики — просуществовала два столетия: Парамешвара, Нилакантха Сомаяджи, Джьештхадева, Читрабхану, Ачьюта Пишарати.

Проблема источников: ни один собственный текст Мадхавы, содержащий эти ряды, не сохранился. Результаты известны по цитатам у последователей, прежде всего в «Юктибхаше» Джьештхадевы (ок. 1530) — сочинении на языке малаялам, которое содержит не только формулы, но и обоснования, и потому иногда называется первым в мире текстом по анализу. Атрибуция конкретных результатов лично Мадхаве опирается на прямые ссылки его учеников и в целом принимается, хотя детали спорны.

Ряд для арктангенса

$$\arctg x = x - \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{5}}{5} - \frac{x^{7}}{7} + \cdots, \qquad |x| \leqslant 1.$$

В Европе его переоткроют Джеймс Грегори (1671) и ЛейбницГотфрид Вильгельм Лейбницнемецкий философ, математик и дипломат · 1646–1716Придумал знаки $d$ и $\int$, которыми мы пишем анализ до сих пор, — и всю жизнь искал язык, на котором спор можно было бы заканчивать словами «посчитаем». (1673). Отсюда при $x=1$:

$$\frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots$$

Формула красивая и практически бесполезная: чтобы получить $n$ верных знаков, нужно порядка $10^{n}$ слагаемых. Для двух знаков — около полутысячи членов.

Что Мадхава сделал с этой бесполезностью

Здесь начинается настоящая математика, и это самое недооценённое в его наследии.

Во-первых, поправочные члены. Мадхава дал приближения вида

$$\frac{\pi}{4} \approx \sum_{k=1}^{n}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1} + (-1)^{n} R_n,$$

где для $R_n$ предлагаются последовательно уточняющиеся выражения:

$$R_n = \frac{1}{4n}, \qquad R_n = \frac{n}{4n^{2}+1}, \qquad R_n = \frac{n^{2}+1}{4n^{3}+5n}.$$

Третья поправка даёт около восьми верных знаков уже при $n \approx 20$. С точки зрения современной математики это асимптотическое разложение остатка знакочередующегося ряда — техника, которую в Европе развивают только в XVIII веке (ЭйлерЛеонард Эйлершвейцарский математик, работавший в Петербурге и Берлине · 1707–1783Самый плодовитый математик в истории: около 900 работ, половина языка современной математики — от знака $\pi$ до записи $f(x)$ — и способность считать, не глядя., Маклорен).

Во-вторых, замена аргумента. Подставив $x = 1/\sqrt3$ и умножив на $\sqrt{12}$:

$$\pi = \sqrt{12}\left(1 - \frac{1}{3\cdot 3} + \frac{1}{5\cdot 3^{2}} - \frac{1}{7\cdot 3^{3}} + \cdots\right).$$

Знаменатель растёт как $3^{k}$ — сходимость геометрическая, примерно полтора десятичных знака за каждые три члена. Именно так получено значение

$$\pi \approx 3{,}14159265359,$$

верное во всех одиннадцати знаках.

Ряды для синуса и косинуса

$$\sin x = x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} - \cdots, \qquad \cos x = 1 - \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!} - \cdots$$

В керальской традиции они записаны не формулой, а санскритскими мнемоническими стихами, кодирующими числовые коэффициенты, — с делением на «$\text{(радиус)}^{2k}$» вместо нашего безразмерного аргумента.

Что было вместо интегрирования

Чтобы получить ряд для арктангенса, нужно почленно проинтегрировать

$$\frac{1}{1+t^{2}} = 1 - t^{2} + t^{4} - \cdots$$

Керальская школа делает это через суммы степеней. Ключевая оценка:

$$\sum_{k=1}^{n} k^{p} \approx \frac{n^{p+1}}{p+1} \quad \text{при больших } n,$$

то есть в точности $\int_0^1 x^p dx = \dfrac{1}{p+1}$ в дискретной форме. Обоснование в «Юктибхаше» — индукцией по $p$, с явным анализом отбрасываемых членов. Это добросовестный предельный переход.

Чего не было

Важно назвать и это, иначе получится не история, а патриотическая реклама.

• Нет понятия производной как общей операции. Есть конечные разности для конкретных тригонометрических таблиц, но нет идеи «продифференцировать произвольную функцию».
• Нет основной теоремы анализа. Связь между касательными и площадями — та, которую нащупает БарроуИсаак Барроуанглийский математик, филолог и богослов · 1630–1677Фактически сформулировал основную теорему анализа — в геометрическом облачении и до Ньютона. А потом уступил ему кафедру и ушёл в богословие., — не сформулирована.
• Нет универсального алгоритма. Каждый ряд получен своим приёмом; общего правила «вот как разложить любую функцию» нет.
• Нет самого понятия функции. Есть таблицы и геометрические величины.

То есть керальская школа сделала примерно то же, что АрхимедАрхимедгреческий математик, механик и инженер · около 287–212 до н. э.Считал площади и объёмы за девятнадцать веков до интегрального исчисления и оставил письмо, в котором честно рассказал, как он на самом деле догадывался до ответов.: блестящие частные результаты высочайшего класса — но не исчисление. Исчисление, напомним, — это когда задачу решает не гений, а процедура.

Вопрос о передаче

Кочин с 1500 года — португальская фактория; иезуитские миссионеры (в том числе математически образованные, выпускники Collegio Romano Клавия) жили в Керале и собирали местные астрономические сведения для календарной реформы. Гипотезу о передаче керальских рядов в Европу всерьёз исследовали (в частности, Д. Алмейда и Дж. Джозеф).

Документальных подтверждений не найдено. Ни переводов, ни ссылок, ни рукописей. Большинство историков считает европейское развитие независимым — тем более что европейский путь к рядам шёл совершенно иначе, через интерполяцию таблиц (ВаллисДжон Валлисанглийский математик и криптограф · 1616–1703Ввёл знак ∞, вычислил π бесконечным произведением и дал Ньютону приём, из которого тот сделал бином и ряды., НьютонИсаак Ньютонанглийский математик, физик и астроном · 1643–1727Создатель анализа, механики и оптики, четверть века проработавший начальником Монетного двора и потративший на алхимию и богословие больше бумаги, чем на физику.), а не через тригонометрические тождества. Вопрос остаётся открытым в том смысле, в каком открыт любой вопрос об отсутствии свидетельств.

Следующая точка: Болонья, 1635 — Европа берёт на вооружение метод, за нестрогость которого её будут ругать двести лет.