Архимед

Античность оставила о нём анекдоты: «Эврика», рычаг, которым он сдвинул бы Землю, зеркала, жгущие корабли, и «не трогай моих кругов» перед римским мечом. Работы Архимеда интереснее анекдотов.

Сиракузы

Сын астронома Фидия, родственник (по некоторым сведениям) сиракузского царя Гиерона II. Учился, вероятно, в Александрии — переписка с александрийскими математиками, Эратосфеном и Кононом, сохранилась. Всю жизнь прожил в Сиракузах и погиб при взятии города римлянами в 212 году до н. э.

Инженерная слава была прижизненной: винт для подъёма воды, полиспасты, метательные машины, два года державшие осаду Марцелла. Сам Архимед, по Плутарху, считал это второстепенным.

Как он считал

Квадратура параболы: площадь сегмента равна $4/3$ площади вписанного треугольника. Доказательство — суммирование геометрической прогрессии

$$1 + \frac14 + \frac1{16} + \cdots = \frac43,$$

доведённое до строгости методом исчерпывания Евдокса: показать, что площадь не больше и не меньше искомой, — значит, равна.

Дальше — объём и поверхность шара ($V = \tfrac{4}{3}\pi r^3$; отношение шара к описанному цилиндру $2:3$, чем он гордился больше всего и просил высечь на могиле), площадь спирали, поверхность параболоида. Оценка числа $\pi$ вписанными и описанными 96-угольниками: $3\tfrac{10}{71} < \pi < 3\tfrac17$. В «Псаммите» он строит систему счисления для больших чисел и оценивает, сколько песчинок поместилось бы во Вселенной.

«Метод»

Самое интересное нашлось позже всего. В 1906 году датчанин Гейберг обнаружил в Константинополе палимпсест — молитвенник XIII века, написанный поверх смытого архимедова текста. Среди прочего там оказался «Метод механических теорем» — письмо Эратосфену, где Архимед объясняет, как он догадывается до ответов: мысленно взвешивает фигуры на рычаге, разрезая их на бесконечно тонкие слои.

То есть он пользовался неделимыми — тем, что через восемнадцать веков сделает Кавальери, — но считал такой способ не доказательством, а эвристикой, и всякий раз потом переписывал результат строго. Историки до сих пор спорят, насколько близко это к интегралу. Ближе, чем что-либо ещё в древности, — и дальше, чем хотелось бы: не хватало понятия предела, которое появится только у Коши.

Палимпсест был снова утрачен, всплыл на аукционе Кристи в 1998 году и теперь прочитан целиком современными методами — включая «Стомахион», трактат о разрезании квадрата, оказавшийся комбинаторной задачей о числе способов сложить фигуру.