Симсон и Стюарт: шотландцы восстанавливают Паппа

Жанр: восстановление утраченного

В шотландских университетах XVIII века всерьёз занимались тем, что сегодня выглядит странным занятием: восстанавливали греческие книги, которых нет.

Жанр этот не они придумали — Вивиани во Флоренции восстановил пятую книгу «Коник» по описанию у Паппа и угадал. Но в Глазго он стал профессией.

Причина не только в почтении к древним. Античная геометрия считалась образцом строгости, а «Математическое собрание» Паппа давало оглавление утраченного: известно, что было доказано, неизвестно — как. Восстановить доказательство по формулировке — задача ровно того сорта, какую сегодня дают на олимпиаде.

Симсон: полвека на одной кафедре

Роберт Симсон (1687–1768) занимал кафедру математики в Глазго пятьдесят лет, с 1711 по 1761 год.

Он восстановил «О плоских местах» Аполлония (1749) и «Поризмы» Евклида (изданы посмертно, в 1776-м) — обе книги известны только по Паппу. Среди его учеников — Мэтью Стюарт и Колин Маклорен.

Но главное его дело — другое. В 1756 году Симсон выпустил своё издание «Начал» Евклида, и оно стало стандартным школьным учебником геометрии на английском языке. По Симсону учились в Британии и Америке больше века; когда в английской школе говорили «Евклид», имели в виду именно эту книгу.

Запомните это — через одну точку мы увидим, что во Франции в те же годы происходило прямо противоположное.

Прямая, которую он не находил

А теперь про то, чем Симсон известен всему миру.

Прямая Симсона. Возьмём точку $P$ на окружности, описанной около треугольника, и опустим из неё перпендикуляры на все три стороны. Основания этих перпендикуляров лежат на одной прямой.

Утверждение красивое, школьное — и Симсон его не доказывал и, судя по всему, не знал.

Нашёл его Уильям Уоллес, шотландский математик следующего поколения, в 1799 году — через тридцать один год после смерти Симсона. Имя Симсона к прямой прицепили в начале XIX века, скорее всего просто потому, что оно было на слуху: его учебник лежал на каждой парте.

Правильнее было бы говорить «прямая Уоллеса», но за двести лет никто не переучился. Ещё один пример закона Стиглера, и в этой линии далеко не первый: формула Герона принадлежит Архимеду, платоновы тела — Теэтету, а окружность Фейербаха мы встретим через две точки.

Стюарт и его теорема

Мэтью Стюарт (1717–1785) учился у Симсона в Глазго, потом у Маклорена в Эдинбурге, а в 1747 году сменил Маклорена на эдинбургской кафедре.

За год до этого, в 1746-м, он издал «Some General Theorems of Considerable Use in the Higher Parts of Mathematics», и вторым предложением там стоит то, что теперь называют теоремой Стюарта:

Пусть $D$ — точка на стороне $BC$ треугольника $ABC$. Обозначим $BD=m$, $DC=n$, $BC=a=m+n$, $AD=d$, $AB=c$, $AC=b$. Тогда
$$b^2 m + c^2 n = a\,(d^2 + mn).$$

Английские школьники запоминают её присказкой «a man and his dad»: $a\,m\,n + d\,a\,d = b\,m\,b + c\,n\,c$.

Считается, что теорему знал сам Симсон и сообщил её ученику; прямых свидетельств этому нет, а история для нашей линии совершенно обыкновенная.

Что из неё выходит

Теорема Стюарта — это универсальный ответ на вопрос «чему равна длина чевианы». Подставляя в неё разные $m$ и $n$, получаем школьные формулы, которые обычно доказывают по отдельности.

Медиана. Положим $m=n=\dfrac a2$:

$$b^2\frac a2 + c^2\frac a2 = a\left(m_a^2+\frac{a^2}{4}\right) \quad\Longrightarrow\quad m_a^2=\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}.$$

Это и есть формула медианы, которую в справочниках приписывают Аполлонию, — и она получается из теоремы Стюарта подстановкой в одну строку.

Биссектриса. Здесь надо вспомнить, что биссектриса делит сторону в отношении прилежащих сторон — предложение VI.3 «Начал», — подставить $m=\dfrac{ac}{b+c}$, $n=\dfrac{ab}{b+c}$ и упростить. Выходит

$$l_a^2 = bc - mn.$$

Стюарту, к слову, не всё удавалось. Он много занимался астрономией и в 1763 году опубликовал вычисление расстояния от Земли до Солнца, ошибившись примерно вдвое. Критика была язвительной, и остаток жизни он от математики отошёл.

Следующая точка: Петербург — где у всякого выпуклого тела обнаружится равенство, не зависящее ни от формы его, ни от размеров.