Вивиани: восстановить утраченную книгу

Последний ученик Галилея

Винченцо Вивиани (1622–1703) попал к ГалилеюГалилео Галилейитальянский физик, астроном и математик · 1564–1642Объяснил придворным игрокам, почему при трёх костях десятка выпадает чаще девятки, — и закрыл вопрос, открытый за триста пятьдесят лет до него. Заодно сказал, что книга природы написана на языке математики. семнадцатилетним. Последние три года жизни Галилей был слеп и находился под домашним арестом в Арчетри под Флоренцией; великий герцог Тосканский приставил к нему юношу — читать вслух, писать под диктовку и вести расчёты. После смерти учителя Вивиани работал с Торричелли, а когда через пять лет умер и тот, занял его место придворного математика.

Всю оставшуюся жизнь — шестьдесят лет — он готовил издание сочинений Галилея и писал его биографию. Первую биографию, «Racconto istorico» (1654), написал именно он.

Отсюда, кстати, идёт и знаменитый рассказ о том, как Галилей бросал тела с Пизанской башни. В документах самого Галилея этого опыта нет; появляется он только у Вивиани, через сорок с лишним лет после предполагаемого события. Историки считают рассказ его сочинением — почтительным, но сочинением.

На фасаде своего флорентийского дома Вивиани поместил бюст Галилея и длинные надписи с перечнем его открытий. Он выстроил учителю памятник в виде собственного жилья, и дом до сих пор так и называется — Палаццо деи Картеллони, «дворец объявлений».

Книга, которой не было

К середине XVII века из восьми книг «Коник» АполлонияАполлоний Пергскийгреческий математик и астроном · около 262–190 до н. э.Написал восемь книг о сечениях конуса, придумал слова «эллипс», «парабола» и «гипербола» — и довёл дело до теории нормалей, то есть до порога дифференциальной геометрии, за восемнадцать веков до неё. по-гречески сохранились первые четыре. Пятая — о нормалях, наибольших и наименьших отрезках от точки до кривой — была известна только по описанию у Паппа.

Описание короткое: несколько строк о том, чем книга занималась и в каком порядке.

Вивиани берётся её восстановить. Не перевести, не найти — вывести заново всё, что там должно было стоять, исходя из паппова оглавления и из того, что Аполлоний умел. В 1659 году выходит книга с говорящим названием:

«De maximis et minimis geometrica divinatio in quintum Conicorum Apollonii Pergaei» — «Геометрическое угадываниелат. divinatio — «прорицание, догадка». Слово выбрано точно: Вивиани не утверждает, что нашёл текст Аполлония, он утверждает, что угадал его содержание о наибольших и наименьших, в пятую книгу Коник Аполлония Пергского».

Проверка, которой он не ждал

И тут произошло то, чего в истории математики почти не бывает: догадку проверили.

Пока Вивиани работал, во флорентийской Медичейской библиотеке обнаружился арабский перевод «Коник», сделанный в IX веке и содержащий книги с пятой по седьмую. Джованни Борелли занялся его изданием; латинский перевод вышел в 1661 году, через два года после «Угадывания».

Вивиани, узнав о находке, поспешил закончить и напечатать свою книгу первым — чтобы никто не мог сказать, будто он подсматривал.

Сличили. Он угадал. Не дословно — доказательства у него свои, — но состав, порядок и суть предложений совпали.

Это редкий и очень поучительный случай. Обычно мы не можем проверить, насколько восстановленное соответствует утраченному. Здесь смогли — и выяснилось, что математический текст восстановим по оглавлению, если знать эпоху и владеть предметом. Содержание книги было предопределено вопросом, который она задавала.

Теорема Вивиани

Его именем названо утверждение, к Аполлонию отношения не имеющее и совсем простое:

Сумма расстояний от любой точки внутри равностороннего треугольника до трёх его сторон не зависит от точки и равна высоте треугольника.

Доказательство — в три строки, и оно ровно то же, каким из VI.1 „Начал“ получается теорема о биссектрисе: через площади.

Пусть сторона равна $a$, высота $h$, а расстояния от точки до сторон — $d_1$, $d_2$, $d_3$. Соединим точку с вершинами: треугольник распался на три, и площади складываются:

$$\frac{a d_1}{2}+\frac{a d_2}{2}+\frac{a d_3}{2}=\frac{a h}{2} \quad\Longrightarrow\quad d_1+d_2+d_3=h. \qquad \blacksquare$$

Точка в выкладке не участвует вовсе — потому ответ от неё и не зависит.

Флорентийская загадка

В 1692 году, семидесяти лет от роду, Вивиани анонимно разослал по Европе вызов, вошедший в историю как флорентийская загадка:

Как вырезать в полусферическом куполе четыре окна так, чтобы оставшуюся поверхность можно было точно квадрировать — то есть построить равновеликий ей квадрат?

Задача выглядела насмешкой: со времён греков было известно, что поверхность сферы циркулем и линейкой не квадрируется. А тут — квадрируется, если правильно проделать дырки.

Ответы прислали ЛейбницГотфрид Вильгельм Лейбницнемецкий философ, математик и дипломат · 1646–1716Придумал знаки $d$ и $\int$, которыми мы пишем анализ до сих пор, — и всю жизнь искал язык, на котором спор можно было бы заканчивать словами «посчитаем»., Якоб Бернулли и ЛопитальГийом Лопитальфранцузский маркиз и математик · 1661–1704Написал первый в мире учебник дифференциального исчисления — и купил у Иоганна Бернулли право называть его результаты своими.. Кривая, по которой идёт край окна, называется теперь кривой Вивиани: это линия пересечения сферы с цилиндром вдвое меньшего радиуса, проходящим через её центр.

Восьмидесятилетний старик, всю жизнь издававший чужие сочинения, напоследок задал Европе задачу — и Европа её решала.

Следующая точка: Милан — где выйдет книжка на несколько десятков страниц, доказывающая геометрию взвешиванием.