Дезарг: геометрия без расстояний

Предыстория: художники

Проективная геометрия родилась из практической задачи — как изобразить трёхмерное на плоскости.

• Брунеллески (Флоренция, ок. 1425) демонстрирует линейную перспективу опытом с зеркалом и панелью с изображением флорентийского баптистерия.
• Альберти («Della pittura», 1435) описывает метод математически: картина есть сечение зрительной пирамиды плоскостью.
• Пьеро делла Франческа («De prospectiva pingendi», ок. 1474) — математический трактат, написанный живописцем.
• Дюрер («Underweysung der Messung», 1525) — знаменитые гравюры с рисовальными приборами.

Ключевое наблюдение художников: параллельные прямые на картине сходятся в точке схода. Значит, при проектировании параллельность не сохраняется — а прямолинейность сохраняется. Возникает вопрос: какие свойства фигуры переживают проектирование?

Человек и книга

Жерар Дезарг (1591–1661) — лионец, военный инженер и архитектор, работавший в Париже; участник кружка МерсеннаМарен Мерсеннфранцузский монах, математик и теоретик музыки · 1588–1648Монах-минимит, работавший научным журналом за сто лет до появления журналов: через его келью в Париже шла переписка всей учёной Европы. Числа его имени до сих пор дают рекордные простые., где бывали ДекартРене Декартфранцузский философ, математик и физик · 1596–1650Соединил кривую с уравнением — и геометрия впервые за две тысячи лет перестала зависеть от того, можно ли фигуру начертить. Заодно придумал обозначения, которыми мы пишем до сих пор., Паскаль-отец и РобервальЖиль Робервальфранцузский математик и механик · 1602–1675Сорок лет держал кафедру, которую каждые три года разыгрывали на конкурсе задач, — и потому прятал свои методы. Заплатил за это тем, что почти все его результаты напечатал кто-то другой раньше..

«Brouillon project d'une atteinte aux evenemens des rencontres du Cone avec un Plan» — «Черновой набросок подступа к тому, что происходит при встрече конуса с плоскостью», Париж, 1639.

Отпечатано около пятидесяти экземпляров, раздававшихся друзьям; к 1680-м годам книга исчезла из обращения полностью. Текст вернулся в науку окольным путём: в 1845 году геометр Мишель Шаль нашёл в парижской букинистической лавке рукописную копию, снятую в 1679-м Филиппом де Ла Иром; по ней Пудра издал трактат в 1864-м. Часто пишут, что печатных экземпляров не сохранилось вовсе, — это уже неверно: один нашёлся в Национальной библиотеке, и на нём основано издание Ренэ Татона 1951 года.

Главная идея: точки на бесконечности

Дезарг постулирует, что параллельные прямые пересекаются — в бесконечно удалённой точке; все такие точки образуют бесконечно удалённую прямую.

Зачем это нужно: чтобы исчезли исключения. В обычной планиметрии всякая теорема о пересечении требует оговорки «если прямые не параллельны». В проективной плоскости оговорок нет:

любые две различные прямые пересекаются ровно в одной точке; через любые две различные точки проходит ровно одна прямая.

Два утверждения стали симметричны — и это симметрия не случайная, а фундаментальная (см. ниже о двойственности).

Заодно исчезает различие между эллипсом, параболой и гиперболой: все три — сечения конуса, а отличаются лишь тем, как секущая плоскость расположена относительно бесконечно удалённой прямой (не задевает её, касается, пересекает). Классификация Аполлония оказывается описанием не трёх кривых, а трёх положений одной.

Теорема Дезарга

Если два треугольника расположены так, что прямые, соединяющие соответственные вершины, проходят через одну точку, то точки пересечения соответственных сторон лежат на одной прямой. И обратно.

Формулировка симметрична: «перспективны относительно точки» ⟺ «перспективны относительно прямой».

Доказательство через выход в пространство — и оно объясняет, откуда теорема берётся. Пусть треугольники $ABC$ и $A'B'C'$ лежат в разных плоскостях $\alpha$ и $\beta$ и перспективны из точки $S$. Прямые $AB$ и $A'B'$ лежат в одной плоскости (той, что проходит через $S$, $A$, $B$), значит пересекаются; но $AB\subset\alpha$, а $A'B'\subset\beta$, поэтому точка их пересечения лежит на линии $\alpha\cap\beta$. То же для двух других пар. Все три точки — на одной прямой, а именно на $\alpha\cap\beta$. $\blacksquare$

Плоский случай получается проектированием пространственной картинки.

И тут тонкость, которая станет важной. В планиметрии теорема Дезарга не выводится из аксиом инцидентности: существуют «недезарговы плоскости», где всё остальное верно, а она нет. Это обнаружит Гильберт, и заодно выяснится, что теорема Дезарга равносильна возможности ввести координаты в теле, а теорема Паппа — коммутативности этого тела.

ПаскальБлез Паскальфранцузский математик, физик и религиозный философ · 1623–1662Собрал в шестнадцать лет теорему о шестиугольнике, в девятнадцать — счётную машину, в тридцать один — теорию вероятностей, а потом бросил математику ради Бога., 1640

Шестнадцатилетний Блез Паскаль, ходивший в кружок Мерсенна вместе с отцом и знавший Дезарга лично, публикует одностраничный «Essay pour les coniques» с теоремой о мистическом шестиугольнике:

Если шестиугольник вписан в конику, то три точки пересечения противоположных сторон лежат на одной прямой.

При вырождении коники в пару прямых получается теорема Паппа (ок. 320) — античный результат оказывается частным случаем. Через четырнадцать лет тот же Паскаль займётся разделом ставки в прерванной игре, и проективную геометрию оставит навсегда.

Почему Дезарга забыли

Причин три, и все поучительны.

Конкуренция. «Геометрия» Декарта вышла за два года до того. Алгебраический метод давал ответы механически, проективный требовал изобретательности на каждом шаге. Аналитическая геометрия победила и вытеснила соперника.

Язык. Дезарг сочинил собственную терминологию, заимствованную из ботаники: прямая у него «ствол», точки на ней — «узлы», семейство прямых — «пальма», и так далее. Текст практически нечитаем; Декарта хотя бы можно было расшифровать.

Отсутствие школы. Последователей было двое: Паскаль, быстро ушедший в другое, и Ла Ир, чья копия и спасла текст.

Дисциплина, оставшаяся без читателей, умерла на сто семьдесят четыре года — и родилась заново в самом неожиданном месте, о котором следующая точка.

Задача. Нарисуйте две пары параллельных прямых и убедитесь, что теорема Дезарга «в исключительном случае» звучит так: если соответственные стороны двух перспективных треугольников попарно параллельны, то и третья пара параллельна. Объясните, почему в проективной формулировке никакого исключения нет.

Следующая точка: Павия — где на два столетия вернутся к пятому постулату и впервые всерьёз попробуют вывести из него противоречие.