«Геометрия неделимых» Кавальери

Книга и человек

Бонавентура Кавальери (1598–1647), монах-иезуат ордена св. Иеронима, ученик ГалилеяГалилео Галилейитальянский физик, астроном и математик · 1564–1642Объяснил придворным игрокам, почему при трёх костях десятка выпадает чаще девятки, — и закрыл вопрос, открытый за триста пятьдесят лет до него. Заодно сказал, что книга природы написана на языке математики. и с 1629 года профессор в Болонье, публикует в 1635-м «Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota» — «Геометрию непрерывных, продвинутую новым способом посредством неделимых».

Идея: плоская фигура состоит из «всех своих линий» (omnes lineae), тело — из «всех своих плоскостей». Сравнивая эти совокупности, можно сравнивать площади и объёмы, не прибегая к исчерпыванию.

Принцип Кавальери

Если у двух тел все сечения плоскостями, параллельными данной, равновелики, то тела равновелики.

Формально это $\int_a^b S_1(h)\,dh = \int_a^b S_2(h)\,dh$ при $S_1 \equiv S_2$ — тавтология для нас и мощнейший инструмент для XVII века.

Заметим для полноты картины: тот же принцип независимо сформулировал китайский математик Цзу Гэнчжи около 500 года (祖暅原理), и именно с его помощью в Китае был найден объём шара.

Как это работает: объём шара за пять строк

Классическая демонстрация, полностью доступная одиннадцатикласснику.

Возьмём полушар радиуса $R$ и рядом — цилиндр радиуса $R$ и высоты $R$, из которого вырезан конус с вершиной внизу и основанием наверху.

Сечение на высоте $h$:

• у полушара — круг радиуса $\sqrt{R^{2}-h^{2}}$, площадь $\pi(R^{2}-h^{2})$;
• у тела «цилиндр минус конус» — кольцо с внешним радиусом $R$ и внутренним $h$ (радиус конуса на высоте $h$ равен $h$), площадь $\pi R^{2} - \pi h^{2}$.

Площади совпадают при каждом $h$. Значит, по принципу Кавальери, тела равновелики:

$$V_{\text{полушара}} = \pi R^{2}\cdot R - \frac{1}{3}\pi R^{2}\cdot R = \frac{2}{3}\pi R^{3} \;\Longrightarrow\; V_{\text{шара}} = \frac{4}{3}\pi R^{3}.$$

То, на что АрхимедуАрхимедгреческий математик, механик и инженер · около 287–212 до н. э.Считал площади и объёмы за девятнадцать веков до интегрального исчисления и оставил письмо, в котором честно рассказал, как он на самом деле догадывался до ответов. понадобился трактат, укладывается в абзац. Вот почему метод завоевал Европу мгновенно.

Степенные квадратуры

Кавальери доказал, что «сумма $n$-х степеней всех линий параллелограмма» относится к «сумме $n$-х степеней всех линий треугольника» как $n+1$ к $1$, — то есть

$$\int_{0}^{a} x^{n}\,dx = \frac{a^{n+1}}{n+1}.$$

Он проверил это последовательно для $n = 1, 2, \ldots, 9$, каждый раз отдельным разбором, и высказал уверенность в общем случае. Общее доказательство дадут вскоре ФермаПьер Фермафранцузский юрист и математик · 1607–1665Советник тулузского парламента, не напечатавший при жизни ни одной математической книги — и успевший заложить теорию чисел, аналитическую геометрию, метод касательных и теорию вероятностей., РобервальЖиль Робервальфранцузский математик и механик · 1602–1675Сорок лет держал кафедру, которую каждые три года разыгрывали на конкурсе задач, — и потому прятал свои методы. Заплатил за это тем, что почти все его результаты напечатал кто-то другой раньше. и Торричелли.

Парадокс, который всех беспокоил

Критики (прежде всего иезуит Пауль Гульдин) указывали: если фигура состоит из линий, а линия имеет нулевую ширину, то любая сумма нулей есть нуль. А если ширина не нулевая, то «линии» — уже прямоугольнички, и всё надо переделывать.

Хуже того, у самого метода есть встроенная ловушка — парадокс Кавальери. Возьмём треугольник $ABC$ и проведём медиану $AD$. Каждой точке на $BD$ сопоставим точку на $DC$ симметрично относительно $D$; проведём через них отрезки, параллельные $AB$ и $AC$ соответственно. Можно построить взаимно однозначное соответствие между линиями двух половин, при котором соответствующие линии равны. Значит, площади равны? Да, здесь равны (медиана делит пополам). Но если провести не медиану, а произвольную чевиану, аналогичное соответствие «линия в линию» построить всё ещё можно, а площади уже разные.

Где ошибка. Взаимно однозначное соответствие между линиями ничего не доказывает: важно не только, каковы линии, но и как плотно они уложены. В современных терминах — нужна мера, а не биекция. Проще: линии надо считать с весом $dx$, и весы у двух половин разные.

Ровно эту разницу — между «столько же элементов» и «столько же меры» — придётся строго осмыслить только Лебегу. А парадокс БанахаСтефан Банахпольский математик · 1892–1945Дал функциональному анализу аксиомы и имя, а математике — образ школы, работающей в кафе за столиком с мраморной столешницей. — ТарскогоАльфред Тарскийпольско-американский логик и математик · 1901–1983Дал первое строгое определение слова «истинно» — и тут же доказал, что внутри самого языка такое определение невозможно; уехал из Польши за три недели до войны, читая доклад в Гарварде. покажет, что интуиция «биекция сохраняет объём» ложна даже в самых диких формах.

Историческая оценка

С точки зрения строгости 1635 год — шаг назад от ЕвдоксаЕвдокс Книдскийгреческий математик и астроном · около 408–355 до н. э.Придумал, как сравнивать несоизмеримые величины, и метод, которым две тысячи лет считали площади, — обе идеи вернулись в XIX веке почти без изменений. и Архимеда. Кавальери это отчасти понимал и во втором издании пытался переформулировать всё через отношения, чтобы обойти вопрос о природе неделимых.

Но метод работал, был нагляден и быстр. Полвека, до НьютонаИсаак Ньютонанглийский математик, физик и астроном · 1643–1727Создатель анализа, механики и оптики, четверть века проработавший начальником Монетного двора и потративший на алхимию и богословие больше бумаги, чем на физику. и ЛейбницаГотфрид Вильгельм Лейбницнемецкий философ, математик и дипломат · 1646–1716Придумал знаки $d$ и $\int$, которыми мы пишем анализ до сих пор, — и всю жизнь искал язык, на котором спор можно было бы заканчивать словами «посчитаем»., Европа интегрировала именно так, и результаты сыпались: квадратуры, кубатуры, центры тяжести. Урок этой точки повторится потом ещё дважды (Эйлер; Хевисайд и Дирак): плодотворная нестрогость обычно побеждает бесплодную строгость — а строгость приходит потом и всё узаконивает.

Следующая точка: Тулуза — юрист по фамилии Ферма изобретает дифференцирование.