Карта → событие
Дюрер: геометрия для тех, кто работает руками
Художник, ездивший за тайным искусством
Альбрехт Дюрер (1471–1528) родился в Нюрнберге в тот самый год, когда туда переехал Региомонтан. Прямых свидетельств об их встрече нет — Дюреру было пять, когда Региомонтан умер, — но библиотеку его наследников Дюрер знал.
В Италию он ездил дважды, и о второй поездке (1505–1507) написал так: отправился в Болонью «ради тайного искусства перспективы», которому его там обещали научить. Кого он искал, точно неизвестно; чаще всего называют Луку ПачолиЛука ПачолиСобрал в одну книгу всю математику Возрождения, описал двойную бухгалтерию и дружил с Леонардо да Винчи — а заодно поставил задачу, ответ на которую нашли только через сто шестьдесят лет..
Из этой поездки он привёз убеждение, которое и определило остаток его жизни: живопись — не ремесло, а наука, и учить ей надо как науке. То есть с чертежами и доказательствами.
Первая математическая книга по-немецки
«Underweysung der Messung mit dem Zirckel und Richtscheyt» — «Наставление в измерении циркулем и линейкой», Нюрнберг, 1525.
Это первая математическая книга, написанная по-немецки. До неё в немецких землях математика существовала только на латыни, и Дюрер в предисловии оправдывается: он пишет для художников, резчиков, каменщиков и золотых дел мастеров, а латыни те не знают.
Оправдываться ему приходилось и за обратное. Учёным читателям книга казалась несерьёзной, ремесленникам — слишком трудной. Он оказался ровно в том же положении, что Абу-л-Вафа за пять веков до него: между двумя цехами, ни в одном не свой.
Четыре книги:
| Книга | О чём |
|---|---|
| I | Линии: спирали, конхоидакривая, получаемая так: из неподвижной точки проводят лучи и на каждом от точки пересечения с данной линией откладывают один и тот же отрезок. Греки применяли её к трисекции угла, эпициклоида, конические сечения |
| II | Плоские фигуры: правильные многоугольники, замощения, построения |
| III | Приложения: колонны, солнечные часы, построение букв циркулем и линейкой |
| IV | Тела: правильные и полуправильныевсе грани — правильные многоугольники, но не обязательно одинаковые, а все вершины устроены одинаково. Таких тел тринадцать, их называют архимедовыми, плюс две бесконечные серии призм и антипризм многогранники, перспектива |
Развёртка
Главное изобретение книги — в четвёртой части, и оно дожило до школьного учебника без изменений.
Дюрер изображает многогранник развёрткой: разрезает его по рёбрам и раскладывает на плоскости так, что все грани видны в натуральную величину и соединены по общим рёбрам. По-немецки он называет это Netz — «сеть».
До него многогранники рисовали в перспективе, как предметы. Дюрер первым нарисовал их как выкройку — и тем самым перевёл трёхмерную задачу в плоскую. Это ход мастерской, а не кабинета: выкройка нужна тому, кто собирается вырезать фигуру из листа и склеить.
Сегодня развёртка куба лежит в учебнике шестого класса, и никто не помнит, что её кто-то придумал.
Пятиугольник, о котором он не предупредил
В книге приведено построение правильного пятиугольника одним раствором циркуля — то самое, что ходило по мастерским со времён Абу-л-Вафы и попало в немецкие ремесленные сборники.
Построение приближённое. Угол выходит около $108^\circ 22'$ вместо ровных $108^\circ$ — расхождение в две трети градуса, на глаз незаметное и для резьбы по камню безразличное.
Дюрер об этом не предупреждает. И здесь особенно жаль сравнения с Абу-л-Вафой, у которого точные построения и приближённые разведены прямо в тексте: сказано, какое чему равно, а какое лишь годится для дела. Ошибку в дюреровском пятиугольнике заметили только в XIX веке.
Мораль для урока простая и не про Дюрера: «годится для практики» и «верно» — разные вещи, и всякий раз надо говорить, что именно вы предъявляете.
Яйцевидная линия
Есть в книге и настоящая ошибка, не приближение.
Строя эллипс как сечение конуса, Дюрер получает фигуру, у которой один конец шире другого, и называет её Eierlinie — «яйцевидной линией». Рассуждал он так: конус книзу расширяется, значит и сечение книзу должно расширяться.
Это неверно: эллипс симметричен. Любопытно, что теорию Дюрер знал правильно — он читал про конические сечения и понимал, что получается эллипс; подвело именно построение, попытка нарисовать его по точкам. Рука оказалась убедительнее теории.
Паук и муха
Паук сидит в вершине куба со стороной $1$, муха — в противоположной вершине. Паук может ползти только по поверхности куба. Какой путь кратчайший?
Ответ не $3$ (по трём рёбрам) и не $\sqrt{3}$ (это диагональ насквозь, а сквозь куб паук не пройдёт).
Ответ: $\sqrt{5}$. Разверните две смежные грани в один прямоугольник $1\times 2$ — путь по поверхности станет отрезком, а его длина равна диагонали этого прямоугольника: $\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt5\approx 2{,}24$. Это и есть дюреровская мысль: трёхмерная задача решается выкройкой.
Следующая точка: Болонья — где тело снова сведут к плоскому, но иначе: не разрезав по рёбрам, а рассыпав на сечения.