Карта → линии → линия

Элементарная геометрия

двадцать три века вокруг треугольника: от таблицы хорд до машинного доказательства

Открыть на карте

1. 1
   Фивы ок. 1650 г. до н. э.

   Папирус Ахмеса: геометрия рецептов

   Площадь ещё рецепт, а не теорема

   Египетский писец находит площадь круга с ошибкой 0,6 %, считает уклон пирамиды и знает точную формулу объёма усечённой пирамиды. Ни одно правило не сопровождается обоснованием — это геометрия измерения, а не геометрия рассуждения.

2. 2
   Милет ок. 585 г. до н. э.

   Фалес: первое доказательство

   Первое доказанное свойство фигуры

   Угол, опирающийся на диаметр, — прямой. Традиция приписывает Фалесу Милетскому первое доказательство геометрического утверждения: переход от «так получается» к «так не может не быть». Достоверных текстов не сохранилось, но именно здесь принято проводить границу математики.

3. 3
   Кротон ок. 520 г. до н. э.

   Кротон: теорема Пифагора

   Соотношение сторон становится теоремой

   Соотношение $a^2+b^2=c^2$ известно Вавилону, Индии и Китаю задолго до греков. Греческий вклад — доказательство и последовавшая катастрофа: в той же школе обнаружат, что диагональ квадрата несоизмерима со стороной, и число перестанет годиться для измерения длин.

4. 4
   Афины ок. 440 г. до н. э.

   Квадратура луночек

   Криволинейная фигура поддаётся счёту

   Гиппократ Хиосский находит фигуры с криволинейной границей, площадь которых точно равна площади треугольника, — и порождает надежду на квадратуру круга. Надежда продержится 2322 года; квадрируемых луночек окажется ровно пять, и последнюю точку в их истории поставят в Казани.

5. 5
   Афины ок. 375 г. до н. э.

   Теэтет: пять тел и ни одного больше

   Список правильных тел закрыт навсегда

   Тетраэдр, куб и додекаэдр знали до него. Теэтет доказал, что других правильных многогранников быть не может, — и этим закрыл вопрос окончательно. XIII книга «Начал» излагает его результат; вся стереометрия одиннадцатого класса держится на списке, составленном в Афинах за двадцать три века до неё.

6. 6
   Александрия ок. 300 г. до н. э.

   «Начала» — и подозрение о пятом постулате

   Тот же текст — со стороны аксиом

   Тринадцать книг, 465 предложений, выведенных из пяти постулатов и пяти аксиом. И сразу — трещина: пятый постулат вчетверо длиннее остальных, выглядит как теорема, и сам Евклид откладывает его применение до двадцать девятого предложения. Отсюда начинается самая долгая драма в истории математики.

7. 7
   Александрия ок. 300 г. до н. э.

   Евклид: площадь без числа

   Школьный курс, книга за книгой

   Первые шесть книг «Начал» — это и есть школьная геометрия: равенство треугольников, параллельные, площади, подобие. Устроены они непривычно: площадь у Евклида не число, а отношение, и умножать длину на длину нельзя. Отсюда же предложение VI.8 — то самое «высота есть среднее геометрическое между проекциями катетов».

8. 8
   Сиракузы ок. 250–220 гг. до н. э.

   Архимед: квадратура параболы и «Метод»

   Шар — две трети описанного цилиндра

   Архимед вычисляет площадь сегмента параболы суммой геометрической прогрессии, а в «Методе» раскрывает кухню: сначала найти ответ взвешиванием бесконечно тонких слоёв, потом доказать строго.

9. 9
   Сиракузы ок. 225 г. до н. э.

   Архимед: арбелос и теорема о ломаной

   Задачи, у которых нет никакой цели

   Тот же человек, что считал объёмы и строил военные машины, занимался фигурой из трёх полуокружностей — «арбелосом», сапожным ножом — и доказывал теорему о ломаной, вписанной в окружность. Ни то, ни другое ни для чего не нужно. «Книга лемм» дошла только по-арабски и, скорее всего, не вся принадлежит Архимеду, но теорему о ломаной приписывает ему ал-Бируни — тот же свидетель, что и в случае формулы Герона.

10. 10
    Александрия ок. 200 г. до н. э.

    Конические сечения Аполлония

    Кривые второго порядка и утраченные книги

    Восемь книг о кривых, получаемых сечением конуса. Аполлоний Пергский вводит термины «эллипс», «парабола», «гипербола» — они происходят от алгебраической операции приложения площадей — и доходит до теории нормалей, то есть до порога дифференциальной геометрии. Кеплер получит готовый язык через восемнадцать веков.

11. 11
    Родос ок. 140 г. до н. э.

    Гиппарх: первая таблица хорд

    Треугольник впервые решают числом

    Чтобы предсказать затмение, нужно уметь по трём известным элементам треугольника найти остальные, — а нечем. Гиппарх составляет таблицу, связывающую дугу с её хордой, и получает первый счётный инструмент тригонометрии. Таблица не сохранилась: о ней известно только из «Альмагеста».

12. 12
    Александрия ок. 60 г.

    Герон: формула площади и чужой приоритет

    Площадь по трём сторонам

    Площадь треугольника по трём сторонам — формула, которую в школе называют героновой. Ал-Бируни сообщает, что она была у Архимеда за три века до Герона. Герону досталось доказательство, изложение и имя: обычная судьба формулы, попавшей в удачный учебник.

13. 13
    Рим ок. 98 г.

    Менелай: полный четырёхсторонник

    Секущая и три отношения

    Теорема о секущей, пересекающей стороны треугольника, появляется сначала в сферическом виде — как рабочий инструмент астронома. Полторы тысячи лет она была главным счётным орудием, пока теорема синусов не сделала её лишней. В школьной программе она стоит рядом с теоремой Чевы, которая появится на шестнадцать веков позже.

14. 14
    Александрия ок. 150 г.

    Птолемей: «Альмагест» и таблица хорд

    Отсюда вся школьная тригонометрия

    Таблица хорд с шагом в полградуса, шестидесятеричные доли — отсюда минуты и секунды, — и теорема о вписанном четырёхугольнике, из которой прямо выводятся формулы синуса и косинуса суммы. Вся школьная тригонометрия выходит из одной книги по астрономии, причём сам Птолемей, скорее всего, пересказывает Гиппарха.

15. 15
    Александрия ок. 320 г.

    Папп: последняя книга античной геометрии

    Опись всего, что успела античность

    «Математическое собрание» — опись всего, что сделала греческая геометрия, вместе с пересказом книг, которые уже тогда терялись. Из неё Европа узнает и теорему Паппа, и содержание утраченных трактатов Аполлония, и правило о теле вращения, которое потом назовут теоремой Паппа — Гульдина. Через шестнадцать веков окажется, что теорема Паппа равносильна коммутативности умножения.

16. 16
    Афины ок. 450 г.

    Прокл: почему правильных паркетов ровно три

    Углы фигуры ограничивают узор

    Комментируя «Начала», Прокл записывает то, что приписывает ещё пифагорейцам: вокруг точки укладываются шесть равносторонних треугольников, четыре квадрата или три шестиугольника — и ничего больше. Правильный пятиугольник не годится: его угол в 108° не делит 360°. Первый в истории запрет на узор.

17. 17
    Бхинмал 628

    Брахмагупта: нуль и отрицательные числа

    Площадь вписанного четырёхугольника

    «Долг, умноженный на долг, есть имущество»: правила знаков, арифметика нуля как полноправного числа и общее решение квадратного уравнения — за тысячу лет до того, как Европа перестала бояться отрицательных корней.

18. 18
    Багдад ок. 990 г.

    Абу-л-Вафа: построения для ремесленника

    Циркуль и линейка приходят из мастерской

    Книга «о том, что необходимо ремесленнику из геометрических построений» написана для тех, кто режет плитку и выкладывает купола. Отсюда и странное на первый взгляд ограничение: циркуль с раз навсегда закреплённым раствором — ножка не съезжает, узор сходится. Школьная тема «построения циркулем и линейкой» выросла из требований мастерской.

19. 19
    Удджайн 1150

    Бхаскара II, «Лилавати»: «Смотри!»

    Доказательство без единого слова

    Задачи в стихах, обращённые к девушке по имени Лилавати, и доказательство теоремы Пифагора одним чертежом с единственной подписью — «Смотри!». Учебник, по которому Индия училась семьсот лет, и лучший аргумент в школьном споре о том, обязано ли доказательство состоять из слов.

20. 20
    Марага ок. 1260

    Ат-Туси: тригонометрия отделяется от астрономии

    Тригонометрия становится наукой, а не главой

    «Трактат о полном четырёхстороннике» — первый текст, где тригонометрия изложена как самостоятельная наука, а не как вспомогательная глава при таблицах небесных движений. Здесь же теорема синусов для плоского треугольника в привычном виде. Европа получит всё это через Региомонтана — двести лет спустя и без ссылки.

21. 21
    Самарканд 1424

    Ал-Каши: шестнадцать знаков числа π

    Теорема косинусов в вычислительном виде

    Задача поставлена по-инженерному: чтобы у окружности диаметром в шестьсот тысяч земных ошибка не превышала толщины волоса. Точность, которую Европа догнала только в конце XVI века. Рядом — десятичные дроби «Ключа арифметики» и обсерватория Улугбека.

22. 22
    Нюрнберг написана в 1464, напечатана в 1533

    Региомонтан: треугольник становится предметом

    Все соотношения в одной книге

    Пять книг «De triangulis omnimodis» впервые в Европе собирают все соотношения между сторонами и углами в одну книгу — и книга эта уже не про небо, а про треугольник. Напечатали её через семьдесят лет после смерти автора. Ему же принадлежит первая экстремальная задача Нового времени: с какого расстояния подвешенный шест виден под наибольшим углом.

23. 23
    Нюрнберг 1525

    Дюрер: геометрия для тех, кто работает руками

    Построения выходят к художнику и мастеру

    «Наставление в измерении» — первая математическая книга на немецком языке, написанная художником для художников: построения, многоугольники, спирали, шрифт, перспектива. Правильный пятиугольник в ней построен приближённо, и Дюрер об этом не предупреждает; ошибку заметили только через триста лет.

24. 24
    Болонья 1635

    «Геометрия неделимых» Кавальери

    Объём через сечения — до всякого интеграла

    Площадь — «сумма линий», объём — «сумма плоскостей». Нестрого, но работает: полвека Европа интегрирует именно так.

25. 25
    Париж 1639

    Дезарг: геометрия без расстояний

    Фигура без измерения — и теорема Паскаля

    Жерар Дезарг постулирует, что параллельные прямые пересекаются — в бесконечно удалённой точке, — и получает геометрию, где нет исключений и не нужны длины. Тираж — полсотни экземпляров, все розданы друзьям; двести шесть лет спустя работу восстановят по рукописной копии, найденной в букинистической лавке.

26. 26
    Флоренция 1659

    Вивиани: восстановить утраченную книгу

    Реконструкция, оказавшаяся верной

    Последний ученик Галилея взялся восстановить пятую книгу Аполлония, от которой оставалось одно описание у Паппа, — и издал её как свою реконструкцию. Когда позже нашли арабский перевод подлинника, оказалось, что он угадал. Его именем названа теорема о сумме расстояний от точки до сторон равностороннего треугольника.

27. 27
    Милан 1678

    Чева: три прямые, сходящиеся в точке

    Условие пересечения трёх прямых

    Одно условие на произведение трёх отношений — и сразу понятно, почему медианы, биссектрисы и высоты пересекаются каждые в своей точке. Чева служил по гидравлическому и монетному делу в Мантуе, математикой занимался помимо службы и заодно вернул из забвения теорему Менелая, поставив её рядом со своей.

28. 28
    Париж опубликовано посмертно, 1731

    Вариньон: параллелограмм внутри четырёхугольника

    Средние линии четырёхугольника

    Середины сторон любого четырёхугольника — даже невыпуклого, даже пространственного — всегда образуют параллелограмм. Факт настолько простой, что кажется античным, а опубликован он в 1731 году, посмертно. Тот же Вариньон годами спорил в Академии с Роллем о том, законен ли вообще анализ бесконечно малых.

29. 29
    Глазго Стюарт — 1746; прямая Уоллеса — 1799

    Симсон и Стюарт: шотландцы восстанавливают Паппа

    Длина чевианы и имя не тому

    Глазго XVIII века всерьёз занят возвращением утраченной античной геометрии: Симсон восстанавливает книги Аполлония и Евклида, его ученик Стюарт публикует теорему о длине отрезка, соединяющего вершину с точкой на противоположной стороне. А прямая, которую весь мир зовёт прямой Симсона, найдена Уильямом Уоллесом через тридцать один год после смерти Симсона.

30. 30
    Санкт-Петербург письмо Гольдбаху — 14 ноября 1750; кривизна поверхностей — Берлин, 1760

    Эйлер: два результата, на которых стоит половина линии

    В − Р + Г = 2 для тел

    Формула $V-E+F=2$ — первый в истории топологический инвариант, найденный за девяносто семь лет до появления слова «топология». Главные кривизны поверхности — то, из чего Гаусс через шестьдесят семь лет сделает свою «замечательную теорему». Обе вещи используются дальше по карте постоянно, и обе введены здесь.

31. 31
    Санкт-Петербург 1765; Чаппл — 1746

    Эйлер: прямая, которую не заметили двадцать три века

    Три центра на одной прямой

    Центр описанной окружности, точка пересечения медиан и точка пересечения высот всегда лежат на одной прямой — и от Евклида до Эйлера этого никто не заметил. В той же работе появляется формула, связывающая расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей с их радиусами; за девятнадцать лет до Эйлера её получил английский самоучка Уильям Чаппл.

32. 32
    Мезьер 1765–1795; Политехническая школа — Париж, 1794

    Монж: начертательная геометрия под грифом

    Тело изображается двумя проекциями

    Восемнадцатилетний чертёжник военной школы решает задачу об укрытии укрепления от настильного огня чертежом за часы вместо суток арифметики — и метод немедленно засекречивают. Гриф снимут через тридцать лет; из курса, прочитанного в Политехнической школе, выйдут Понселе и вся французская геометрия XIX века.

33. 33
    Париж первое издание — 1794

    Лежандр: учебник, вытеснивший Евклида

    Геометрия становится школьным предметом

    «Éléments de géométrie» переписывают «Начала» так, чтобы по ним можно было учить: другой порядок, другой язык, вычисления вместо отношений. Двадцать изданий при жизни автора, переводы по всей Европе и Америке — и в каждом издании новая, всякий раз ошибочная попытка доказать пятый постулат.

34. 34
    Париж 1803

    Карно: у отрезка появляется знак

    Разбор случаев исчезает

    «Géométrie de position» вводит отрезки со знаком — и теоремы Менелая и Чевы впервые формулируются одинаково для всех расположений точек, без унылого перебора случаев. Автор — «организатор победы» Республики и военный министр, занимавшийся геометрией между кампаниями.

35. 35
    Саратов 1813–1814; книга — Мец, 1822

    Понселе: проективная геометрия, восстановленная по памяти

    Двойственность и окружность девяти точек

    Раненого лейтенанта наполеоновской армии подбирают на поле под Красным и уводят пленным в Саратов. Не имея ни одной книги, он за год восстанавливает по памяти всё, чему учился, и заново строит проективную геометрию — не подозревая, что повторяет забытого Дезарга.

36. 36
    Эрланген 1822; Понселе и Брианшон — 1821

    Фейербах: окружность девяти точек

    Девять точек на одной окружности

    Через середины сторон, основания высот и середины отрезков от вершин до ортоцентра проходит одна окружность. Понселе и Брианшон описали её годом раньше; Фейербах доказал большее — что она касается вписанной окружности и всех трёх вневписанных. Брат философа, он вышел из тюрьмы душевнобольным и умер в тридцать четыре года.

37. 37
    Берлин «Systematische Entwickelung» — 1832; задача Лемуса — 1840

    Штейнер: геометрия без вычислений

    Счёт объявлен признаком слабости

    До четырнадцати лет он был неграмотным пастухом, в тридцать три стал профессором и всю жизнь считал вычисление в геометрии признаком слабости. Отсюда его стиль — и задача, присланная ему учителем Лемусом: доказать, что треугольник с двумя равными биссектрисами равнобедренный. Прямого доказательства не найдено до сих пор.

38. 38
    Париж 1873–1895

    Новая геометрия треугольника

    Дисциплина, которая расцвела и умерла

    Двадцать лет треугольник — самостоятельная дисциплина с журналами, конкурсами и тысячами статей: точка Лемуана, точки Брокара, точка Нагеля, точка Жергонна, «геометрография» как способ измерять сложность построения. Около 1900 года всё обрывается — математика уходит в структуры. Сегодня описанных центров треугольника больше семидесяти тысяч, и нужны они только школьникам.

39. 39
    Воронеж геометрия — 1892; арифметика — 1884

    Киселёв: учебник на шестьдесят лет

    Русский школьный канон

    Учитель воронежского реального училища написал курс геометрии, по которому страна училась до 1970-х годов, и спор «вернуть Киселёва или нет» жив до сих пор. Его собственный принцип — «точность, простота, сжатость» — и сегодня выглядит приговором большинству учебников, включая те, что его сменили.

40. 40
    Хэверфорд найдена в 1899, опубликована в 1929

    Морли: трисектрисы

    Последний классический сюрприз

    Разделите каждый угол произвольного треугольника на три равные части — соседние трисектрисы пересекутся в вершинах правильного треугольника. Всегда, при любом исходном треугольнике. Морли нашёл это в 1899 году, рассказывал друзьям и опубликовал только через тридцать лет; всё это время теорема ходила по свету в пересказах.

41. 41
    Прага 1899

    Пик: площадь по узлам решётки

    Площадь считается пересчётом точек

    Площадь многоугольника с вершинами в узлах клетчатой бумаги равна числу внутренних узлов плюс половина граничных минус единица. Теорема пролежала незамеченной семьдесят лет, пока Штейнхаус не включил её в «Математический калейдоскоп». Сам Пик — тот, кто привёл Эйнштейна в Прагу и указал ему на Риччи; погиб в Терезине в 1942 году.

42. 42
    Гёттинген 1899

    Гильберт: «Основания геометрии»

    Плоскость и пространство расходятся

    Двадцать одна аксиома вместо пяти постулатов — и требование, чтобы смысл слов «точка» и «прямая» нигде в доказательстве не использовался. Заодно обнаруживается неожиданное: каждой геометрической аксиоме отвечает алгебраическое свойство координат, и теорема Паппа оказывается коммутативностью умножения, записанной фигурами.

43. 43
    Будапешт задача Эрдёша — 1935, решение — 1937; Галлаи — 1944

    Геометрия уходит в олимпиады

    Из науки — в спорт

    Эрдёш ставит в «American Mathematical Monthly» задачу о сумме расстояний от точки внутри треугольника до вершин и до сторон; через два года её решают Морделл и Барроу. Тогда же оживает вопрос Сильвестра 1893 года: у любого конечного набора точек, не лежащих на одной прямой, найдётся прямая ровно с двумя из них. Элементарная геометрия окончательно меняет жанр.

44. 44
    Торонто Руайомон — 1959; книга — 1961

    Коксетер против «Долой Евклида!»

    Спор о том, нужна ли школе фигура

    На Руайомонском семинаре 1959 года Дьёдонне провозглашает: «Долой Евклида! Смерть треугольникам!» — школе нужны структуры, а не фигуры. Ответом становится «Introduction to Geometry» Коксетера, книга, где классическая геометрия показана живой наукой. Спор не выигран ни одной стороной, и школьная программа до сих пор носит следы обеих.

45. 45
    Москва учебники — 1970-е; свёртывание — 1978–1982

    Реформа Колмогорова: строгость приходит в школу

    Чем спор кончился в СССР

    Множества, отображения, векторы и аксиоматика приходят в советский школьный учебник — попытка сделать школьный курс честным продолжением науки. Через десять лет реформу свернули под давлением учителей и родителей, а самого Колмогорова разбирали в Академии. След остался: нынешние учебники — компромисс между ним и Киселёвым.

46. 46
    Пекин 1977

    У Вэньцзюнь: машина доказывает теоремы о треугольнике

    Изобретательность сведена к алгоритму

    Геометрическое утверждение переводится в систему многочленов, и вопрос «верна ли теорема» становится вопросом о делимости. Метод У доказывает сотни классических теорем подряд, не пользуясь ни одной догадкой. Двадцать три века изобретательности оказались сводимы к алгоритму — самый честный финал, какой у этой линии может быть.