Кротон: теорема Пифагора

Что было до греков

Вавилон. Табличка Plimpton 322 (ок. 1800 г. до н. э.) содержит пятнадцать строк пифагоровых троек, причём далеко не самых очевидных — среди них $(119,120,169)$ и $(12709,13500,18541)$. Такие числа не найти перебором; за таблицей стоит метод. Но нет ни формулировки общего утверждения, ни намёка на обоснование.

Индия. «Шульба-сутры» (правила построения алтарей, ок. VIII–V вв. до н. э.) прямо формулируют правило: «диагональ прямоугольника производит то, что производят обе стороны» — и приводят замечательное приближение

$$\sqrt2\approx 1+\frac13+\frac{1}{3\cdot4}-\frac{1}{3\cdot4\cdot34}=\frac{577}{408}=1{,}414215\ldots$$

(верно до шестого знака).

Китай. «Чжоу би суань цзин» и «Математика в девяти книгах» дают правило гоу-гу и знаменитый чертёж сюань ту — квадрат со вписанными четырьмя прямоугольными треугольниками, из которого утверждение читается почти без слов.

Итак, к моменту Пифагора формулу знают на трёх континентах. Кротонский вклад — в другом.

Доказательство и его разновидности

Древнейшее из сохранившихся доказательств — предложение I.47 «Начал», известное под именами «мельница», «павлиний хвост» и «стул невесты». Идея: квадрат на гипотенузе делится высотой из прямого угла на два прямоугольника, и каждый равновелик соответствующему квадрату на катете. Равновеликость доказывается через пару треугольников: треугольник с основанием — стороной квадрата на катете и треугольник с основанием — стороной прямоугольника равны по двум сторонам и углу между ними, а каждый из них составляет половину своей фигуры.

Куда прозрачнее рассуждение через подобие (ЕвклидЕвклидгреческий математик · около 300 года до н. э.Автор книги, которая две тысячи лет была вторым по тиражу текстом после Библии, — и о котором самом не известно почти ничего. приберёг его для VI книги). Высота $h$ из прямого угла делит гипотенузу на отрезки $p$ и $q$, и оба получившихся треугольника подобны исходному:

$$a^{2}=c\,p,\qquad b^{2}=c\,q\quad\Longrightarrow\quad a^{2}+b^{2}=c(p+q)=c^{2}.$$

Самое короткое — китайское, через площади. Возьмём квадрат со стороной $a+b$ и уложим в него четыре копии треугольника двумя способами:

$$(a+b)^{2}=4\cdot\frac{ab}{2}+c^{2}\quad\Longrightarrow\quad a^{2}+2ab+b^{2}=2ab+c^{2}\quad\Longrightarrow\quad a^{2}+b^{2}=c^{2}.$$

А главное обобщение стоит у Евклида в VI.31: если на сторонах прямоугольного треугольника построить любые подобные между собой фигуры, площадь фигуры на гипотенузе равна сумме двух других. Квадраты — лишь удобный частный случай; работает и с полукругами (отсюда — луночки Гиппократа), и с правильными пятиугольниками, и с портретами Пифагора, лишь бы они были подобны.

В «Началах» есть и обратная теорема (I.48): если $a^2+b^2=c^2$, то угол против $c$ прямой. Это она превращает соотношение в инструмент — по трём измеренным длинам можно узнать про угол, не измеряя его. Египетские землемеры-«натягиватели верёвки» и современный строитель с рулеткой пользуются именно обратной теоремой.

Катастрофа несоизмеримости

Пифагорейское учение держалось на тезисе «всё есть число» — точнее, на убеждении, что любые две однородные величины соизмеримы: у них есть общая мера, укладывающаяся целое число раз в каждой. Тогда отношение длин всегда выражается отношением целых чисел.

И тут собственная теорема школы наносит удар. Возьмём квадрат со стороной 1; по теореме диагональ равна $\sqrt2$. Предположим, $\sqrt2=m/n$ — несократимая дробь. Тогда $m^{2}=2n^{2}$, значит $m^{2}$ чётно, значит чётно и $m$ (квадрат нечётного нечётен). Пусть $m=2k$; подставляя, получаем $4k^{2}=2n^{2}$, то есть $n^{2}=2k^{2}$ — и $n$ тоже чётно. Но дробь была несократимой. Противоречие.

Есть и чисто геометрический вариант, вероятно, более близкий к исходному, — через последовательное взаимное вычитание (антифайресис, античный аналог алгоритма Евклида). Отложим сторону квадрата на диагонали; остаток окажется стороной нового квадрата, меньшего, но устроенного точно так же. Процесс никогда не оборвётся — а для соизмеримых величин он обязан оборваться на общей мере. Здесь впервые в истории работает бесконечный спуск.

Античная традиция связывает открытие с Гиппасом из Метапонта и добавляет, что за разглашение тайны его постигла кара — по одной версии, кораблекрушение. Историчность сомнительна, но легенда точно передаёт масштаб: рухнула не теорема, а картина мира.

Последствие, определившее всю греческую математику

Из несоизмеримости следовало, что отношение длин не всегда есть отношение чисел. Числа (у греков — целые и их отношения) для измерения не годятся. Выход был найден радикальный: перестать сводить геометрию к числу и, наоборот, строить теорию величин геометрически. Отсюда — теория пропорций Евдокса в V книге «Начал», работающая для любых, в том числе несоизмеримых, величин; отсюда же «геометрическая алгебра» II книги, где тождество $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ доказывается разрезанием квадрата.

Цена этого решения — две тысячи лет без удобной алгебраической записи; выгода — безупречная строгость. Полностью долг вернут только в XIX веке, когда Дедекинд построит вещественные числа сечениями и признает, что его конструкция — переложение ЕвдоксаЕвдокс Книдскийгреческий математик и астроном · около 408–355 до н. э.Придумал, как сравнивать несоизмеримые величины, и метод, которым две тысячи лет считали площади, — обе идеи вернулись в XIX веке почти без изменений. на язык множеств.

Задача. Докажите теорему Пифагора «по-президентски»: этот вывод предложил в 1876 году Джеймс Гарфилд, будущий президент США. Составьте из двух копий прямоугольного треугольника и одного равнобедренного прямоугольного треугольника трапецию с основаниями $a$ и $b$ и высотой $a+b$; приравняйте площадь трапеции сумме площадей трёх треугольников.
(Ответ: $\frac{(a+b)^2}{2}=2\cdot\frac{ab}{2}+\frac{c^2}{2}$, что и даёт $a^2+b^2=c^2$.)

Следующая точка: Афины — где грекам покажется, что криволинейные фигуры тоже поддаются циркулю и линейке.