Квадратура луночек

Три задачи, которые не решаются

Греческая геометрия оставила три знаменитые задачи на построение циркулем и линейкой:

квадратура круга — построить квадрат, равновеликий данному кругу;
удвоение куба (делосская задача) — построить ребро куба вдвое большего объёма;
трисекция угла — разделить произвольный угол на три равные части.

Все три неразрешимы, и все три ответы получили только в XIX веке. Причина у первых двух одна: циркуль и линейка позволяют строить лишь такие длины, которые получаются из единицы конечным числом сложений, умножений, делений и извлечений квадратного корня. Значит, координата любой построимой точки лежит в расширении поля $\mathbb{Q}$ степени $2^{k}$. Удвоение куба требует $\sqrt[3]{2}$ — степень 3, не делится на $2^k$ (Ванцель, 1837). Квадратура круга требует $\sqrt{\pi}$, а $\pi$ вообще не алгебраично (Линдеман, 1882, опираясь на метод Эрмита). Трисекция сводится к кубическому уравнению $4t^3-3t=\cos\varphi$ — снова степень 3.

Гиппократ Хиосский (не путать с врачом Гиппократом Косским) работал в Афинах около 440 года до н. э. и написал первые «Начала» — сочинение, до нас не дошедшее, но, по свидетельству Евдема, послужившее образцом для Евклида. И он получил первый в истории точный результат о криволинейной фигуре.

Лемма, на которой всё держится

Гиппократ опирается на факт, восходящий к Евклиду VI.31 (у него — к более ранней традиции):

Площади подобных сегментов круга относятся как квадраты их хорд.

Действительно, сегмент однозначно определяется хордой $\ell$ и вписанным углом; при изменении масштаба в $k$ раз хорда растёт в $k$ раз, а площадь — в $k^{2}$.

Луночка Гиппократа

Возьмём равнобедренный прямоугольный треугольник $ACB$ с прямым углом при $C$ и катетами $a$. Опишем полуокружность на гипотенузе $AB$ (она проходит через $C$ — это теорема Фалеса) и полуокружность на катете $AC$ снаружи треугольника. Фигура, заключённая между двумя дугами, — луночка.

Фигура, ограниченная двумя дугами, оказалась в точности равна треугольнику: π сократилосьMathLocus · построено для этого сайта

Пусть $S_1$ — площадь полукруга на катете $AC$, $S_2$ — площадь сегмента, отсекаемого хордой $AC$ от большой полуокружности. Тогда

$$S_{\text{луночки}}=S_1-S_2 .$$

Сегменты на $AC$ (в малой окружности это ровно полукруг) и на $AB$ подобны, поэтому

$$\frac{S_{1}}{S_{\text{полукруг на } AB}}=\frac{AC^{2}}{AB^{2}}=\frac{a^{2}}{2a^{2}}=\frac12 .$$

Считаем в лоб: $S_1=\dfrac{\pi a^{2}}{8}$; полукруг на гипотенузе имеет площадь $\dfrac{\pi (a\sqrt2)^{2}}{8}=\dfrac{\pi a^{2}}{4}$, а сегмент на $AC$ равен ему за вычетом треугольника $ACO$… Короче и красивее — через полукруг целиком:

$$\underbrace{\frac{\pi a^{2}}{8}}_{\text{полукруг на }AC}+\underbrace{\frac{\pi a^{2}}{8}}_{\text{полукруг на }CB}=\frac{\pi a^{2}}{4}=\underbrace{\text{полукруг на }AB}_{\text{он же треугольник}+\text{два сегмента}} .$$

Полукруг на гипотенузе состоит из треугольника $ACB$ и двух сегментов, отсекаемых катетами. Вычтя эти два сегмента из обеих частей, получаем

$$\boxed{\;\text{две луночки}=\text{треугольник }ACB=\frac{a^{2}}{2}\;}$$

Здесь $\pi$ сократилось полностью. Криволинейная фигура оказалась в точности равна прямолинейной, и её площадь строится циркулем и линейкой. Для одной луночки (на равнобедренном прямоугольном треугольнике, вписанном в полукруг) ответ тот же вид: она равна половине треугольника.

Почему это не даёт квадратуру круга

Соблазн очевиден: если сумма двух луночек квадрируема, а луночка — «круг минус сегменты», не удастся ли добраться до круга? Гиппократ, судя по всему, именно на это и надеялся: он нашёл ещё две квадрируемые луночки (с внешними дугами в $\tfrac23$ и $\tfrac32$ полуокружности) и квадрировал сумму «луночка + круг». Но каждый раз $\pi$ сокращалось благодаря специальному подбору дуг, а собрать из таких кусочков полный круг не выходило.

Окончательный ответ занял два с половиной тысячелетия и распадается на две части.

Часть первая, про луночки. Ещё две квадрируемые луночки нашёл в 1766 году Мартин Валлениус и переоткрыл в 1840-м Томас Клаузен. Полный список составили в России: Николай Чеботарёв (Казань, 1934) свёл задачу к теории Галуа и разобрал почти все случаи, а его ученик Анатолий Дороднов (1947) закрыл оставшиеся. Итог: квадрируемых луночек, у которых отношение дуг рационально, ровно пять — три Гиппократовы и две найденные в XVIII–XIX веках. Приятная рифма карты: список луночек закрыли в том же городе, где родилась неевклидова геометрия.

Часть вторая, про круг. Линдеман в 1882 году доказал трансцендентность $\pi$: оно не является корнем никакого многочлена с рациональными коэффициентами. Значит, $\sqrt\pi$ и подавно не построимо, и квадратура круга невозможна. С этого момента слово «квадратура круга» окончательно перешло из математики в разряд метафор.

Побочный результат, оказавшийся важнее

Тот же Гиппократ сделал первый в истории сведение одной задачи к другой: он показал, что удвоение куба равносильно построению двух средних пропорциональных, то есть отысканию $x,y$ из

$$\frac{a}{x}=\frac{x}{y}=\frac{y}{2a}\quad\Longrightarrow\quad x^{2}=ay,\ y^{2}=2ax\quad\Longrightarrow\quad x^{3}=2a^{3}.$$

Задача не решена, но переформулирована так, что становится видна её природа: нужны точки пересечения двух парабол (или параболы и гиперболы). Через триста лет этим займётся Аполлоний, а ещё через тысячу — Омар Хайям, который научится решать кубические уравнения пересечением конических сечений. Сведение задачи к задаче — приём настолько привычный сегодня, что трудно поверить в его изобретение; здесь его изобретают.

Задача. Луночка построена на катете $a$ прямоугольного треугольника с катетами $a$ и $b$ (внешняя дуга — полуокружность на этом катете, внутренняя — дуга описанной около треугольника окружности). Докажите, что сумма двух таких луночек (на обоих катетах) равна площади треугольника при любых $a$ и $b$, а не только при $a=b$.
(Указание: повторите выкладку с полукругами — она нигде не использует равенство катетов.)

Следующая точка: Александрия — где разрозненные теоремы впервые соберут в единую систему и обнаружат в ней трещину.