«Начала» — и подозрение о пятом постулате

Устройство книги

«Начала» — не учебник и не сборник задач, а демонстрация метода. Каждая книга начинается с определений; в первой книге за ними следуют пять постулатов (требований к построениям) и пять общих понятий (аксиом, годных для любых величин); дальше идут предложения, и в каждом ссылка идёт только назад — на определения, аксиомы и уже доказанное.

Финал книги XIII — доказательство того, что правильных многогранников ровно пять, — считается композиционной целью всего сочинения. Это первая в истории теорема о полноте классификации: не «вот пять тел», а «других нет и быть не может».

Влияние «Начал» измеряется тем, что до XX века геометрию в европейской школе преподавали фактически по ним. Часто повторяемое утверждение, будто это вторая книга в истории по числу изданий после Библии, восходит к статистике XIX века и строгой проверки не выдерживает — но порядок величины оно передаёт верно.

Пять постулатов

В классическом русском переводе Д. Д. Мордухай-Болтовского:

I. Провести прямую из всякой точки ко всякой точке.
II. Ограниченную прямую непрерывно продолжать по прямой.
III. Из всякого центра всяким раствором описывать круг.
IV. Все прямые углы равны между собой.
V. Если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние односторонние углы, меньшие двух прямых, то продолженные неограниченно эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых.

Достаточно взглянуть, чтобы почувствовать разницу. Первые четыре — короткие требования, проверяемые в воображении одним движением. Пятый — условное утверждение с количественной посылкой, про поведение прямых сколь угодно далеко, там, где никакой чертёж уже ничего не подскажет. Он и читается как теорема, которую забыли доказать.

Подозрение усиливают два обстоятельства.

Первое: обратное утверждение ЕвклидЕвклидгреческий математик · около 300 года до н. э.Автор книги, которая две тысячи лет была вторым по тиражу текстом после Библии, — и о котором самом не известно почти ничего. доказывает. Предложение I.17 («в любом треугольнике сумма двух углов меньше двух прямых») — по существу обратное к пятому постулату, и оно выводится из первых четырёх. Асимметрия бросается в глаза.

Второе: Евклид явно избегает пятого постулата, пока может. Предложения I.1–I.28 не используют его вовсе. В них уже есть признаки равенства треугольников, неравенство треугольника, теорема о внешнем угле и даже достаточный признак параллельности (I.27–I.28: если односторонние углы в сумме дают два прямых, прямые не пересекаются). Первое применение пятого постулата — предложение I.29, где доказывается обратное: у параллельных прямых накрест лежащие углы равны.

Совокупность I.1–I.28 сегодня называют абсолютной геометрией — это то, что верно и по Евклиду, и по Лобачевскому. Половина школьного курса, как выясняется, от пятого постулата не зависит вовсе.

Что эквивалентно пятому постулату

Главная ловушка всех попыток доказательства (см. Хайяма, ат-Туси, Саккери) в том, что доказывающий подставляет вместо постулата другое, «более очевидное» утверждение — а оно оказывается ему равносильным. Вот неполный список; каждый пункт в присутствии первых четырёх постулатов равносилен пятому:

• Аксиома Плейфера (1795, но известна Проклу): через точку вне прямой проходит не более одной прямой, ей параллельной.
• Сумма углов треугольника равна двум прямым.
• Существует хотя бы один прямоугольник (четырёхугольник с четырьмя прямыми углами).
• Существуют подобные, но не равные треугольники (ВаллисДжон Валлисанглийский математик и криптограф · 1616–1703Ввёл знак ∞, вычислил π бесконечным произведением и дал Ньютону приём, из которого тот сделал бином и ряды., 1663).
• Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит окружность (Фаркаш Бойяи).
• Множество точек, равноудалённых от прямой и лежащих по одну сторону от неё, само является прямой.
• Теорема Пифагора.
• Площади треугольников не ограничены сверху.

Особенно поучителен последний пункт: в геометрии ЛобачевскогоНиколай Иванович Лобачевскийрусский математик, ректор Казанского университета · 1792–1856Первым напечатал геометрию, в которой параллельных больше одной, — и двадцать лет выслушивал, что это бессмыслица. площадь треугольника не превосходит фиксированной величины, сколько бы ни удалять вершины. Привычка думать, что «фигуру всегда можно увеличить пропорционально», — это и есть скрытая форма пятого постулата.

Чего Евклиду не хватало

Строгость «Начал» была образцовой две тысячи лет, но не абсолютной. Три известных пробела:

Непрерывность. Уже в предложении I.1 (построение равностороннего треугольника) две окружности пересекаются — но ни один постулат этого не гарантирует. В геометрии над полем рациональных чисел они бы не пересеклись.

Порядок и «между». Понятие «точка лежит между двумя другими» используется постоянно и нигде не описано. Отсюда знаменитые софизмы вроде «доказательства», что все треугольники равнобедренные: ошибка в них — исключительно в расположении точки на чертеже. Недостающую аксиому сформулировал Мориц Паш в 1882 году.

Наложение. В I.4 (первый признак равенства) треугольник «прикладывается» к другому — это движение, которого в списке постулатов нет.

Полную аксиоматику построит ГильбертДавид Гильбертнемецкий математик · 1862–1943Человек, сделавший Гёттинген столицей математики и задавший ей повестку на весь XX век — двадцатью тремя проблемами и одной программой, которую сам же и не смог спасти. в «Основаниях геометрии» (Гёттинген, 1899): 20 аксиом в пяти группах — связи, порядка, конгруэнтности, параллельности и непрерывности, — с доказанной независимостью и непротиворечивостью относительно арифметики. Тогда же выяснится и обратное: то, что Евклид проглядел, он проглядел удивительно мало.

Текст, который мы читаем

Греческий оригинал утрачен. До XIX века Европа читала «Начала» по редакции Теона Александрийского (IV в. н. э.), сознательно правившего текст. В 1808 году Франсуа Пейрар обнаружил в Ватикане рукопись (Vat. gr. 190), восходящую к дотеоновской традиции; на ней основано критическое издание Гейберга (1883–1888), которым пользуются и сейчас. Так что даже вопрос «что именно написал Евклид» — предмет исследования, а не данность.

Задача. Докажите, что аксиома Плейфера следует из пятого постулата. (Указание: пусть через точку $P$ вне прямой $\ell$ проходят две различные прямые, не пересекающие $\ell$. Опустите перпендикуляр $PH$ на $\ell$; одна из двух прямых образует с $PH$ угол, отличный от прямого, значит с одной из сторон сумма односторонних углов меньше двух прямых — и по пятому постулату пересечение обязано быть.)

Следующая точка: снова Александрия — где геометрия впервые построит язык, которым через восемнадцать веков воспользуется астрономия.