Ат-Туси в Мараге

Обсерватория, которой не должно было быть

Насир ад-Дин ат-Туси (1201–1274) — фигура почти невероятная. Учёный, переживший монгольское нашествие, он оказался при дворе Хулагу-хана и убедил завоевателя построить обсерваторию. В 1259 году в Мараге (Южный Азербайджан, ныне Иран) начинается строительство: главный инструмент — квадрант радиусом около 4 метров, библиотека, по свидетельствам, до 400 тысяч томов, штат учёных со всего исламского мира и из Китая. Результат — «Ильханские таблицы» (Зидж-и Ильхани), лучшие астрономические таблицы своего века.

Марагинская школа сделала для астрономии больше, чем принято помнить. Её главный сюжет — избавление от птолемеевского экванта, искусственной точки, относительно которой планета движется равномерно и которая нарушала принцип равномерного кругового движения.

Пара ат-Туси

Решение оказалось геометрической жемчужиной и заслуживает отдельного разбора.

Теорема (пара ат-Туси). Пусть окружность радиуса $r$ катится без скольжения внутри окружности радиуса $2r$. Тогда каждая точка малой окружности движется по прямой — по диаметру большой.

Докажем. Поместим центр большой окружности в начало координат. Пусть малая окружность повернулась так, что её центр находится в точке $((2r-r)\cos\varphi,\,(2r-r)\sin\varphi)=(r\cos\varphi,\,r\sin\varphi)$. Условие качения без скольжения означает, что малая окружность повернулась вокруг своего центра на угол $-\dfrac{2r}{r}\varphi=-2\varphi$ относительно неподвижной системы. Значит, отмеченная точка, стартовавшая в $(2r,0)$, имеет координаты

$$x=r\cos\varphi+r\cos(-\varphi)=2r\cos\varphi,\qquad y=r\sin\varphi+r\sin(-\varphi)=0 .$$

Точка всё время лежит на оси $Ox$ и колеблется по отрезку $[-2r,2r]$ по гармоническому закону. $\blacksquare$

Так круговое движение превращается в прямолинейное — и эквант становится не нужен. Отдельный исторический сюжет: точно такая же конструкция появляется у Коперника в «De revolutionibus» (1543). Совпадение чертежей и обозначений настолько велико, что большинство историков считает заимствование (через византийские рукописи) более правдоподобным, чем независимое открытие, хотя прямых документальных доказательств нет.

Трактат о параллельных

Хронологию стоит уточнить: обширную обработку «Начал» («Тахрир усул Уклидис») ат-Туси закончил в 1248 году, ещё до Мараги, живя при исмаилитских крепостях; отдельное сочинение о параллельных — «ар-Рисала аш-шафия ан аш-шакк фи-л-хутут ал-мутавазия» («Трактат, исцеляющий сомнение относительно параллельных линий») — датируют примерно тем же временем, около 1250 года. Марага, где ат-Туси провёл последние пятнадцать лет и куда стянулась вся его школа, стоит на карте как место, откуда это наследие разошлось по миру.

В трактате о параллельных он разбирает попытки предшественников — Сабита ибн Курры, Ибн ал-Хайсама, ХайямаОмар Хайямперсидский математик, астроном и поэт · 1048–1131В Европе его знают как автора четверостиший о вине и бренности; на востоке он был прежде всего математиком, решившим кубические уравнения за пятьсот лет до итальянцев. — и предлагает своё рассуждение.

Ключевой шаг: он пробует доказать, что если два перпендикуляра к прямой не равны, то отрезок, их соединяющий, наклонён, и, продолжая построение, приходит к существованию прямоугольника. Но опирается он при этом на утверждение, что расстояние от точек одной прямой до другой меняется монотонно и что перпендикуляр, восставленный в точке, не может «уклоняться» неограниченно. Это, как всегда, равносильно пятому постулату.

Ценность трактата — не в мнимом доказательстве, а в том, что он систематизирует двухвековую традицию: у ат-Туси впервые видно, что это не серия случайных попыток, а одна задача, к которой подступаются с разных сторон и которая всякий раз ускользает одинаковым образом.

Книга, которую он не писал

Здесь начинается сюжет с подменой, который стоит рассказывать целиком, потому что он объясняет европейский этап истории.

В 1594 году в Риме, в типографии Медичи, печатается арабское издание ЕвклидаЕвклидгреческий математик · около 300 года до н. э.Автор книги, которая две тысячи лет была вторым по тиражу текстом после Библии, — и о котором самом не известно почти ничего. с комментариями, приписанными ат-Туси. Текст этот, однако, происходит из другой редакции: одна из рукописей прямо помечена 1298 годом — через четверть века после смерти ат-Туси. Кто настоящий автор, неизвестно; в литературе его называют Псевдо-Туси (иногда осторожно предполагают сына, Садр ад-Дина).

Именно эту книгу читает в Оксфорде Джон ВаллисДжон Валлисанглийский математик и криптограф · 1616–1703Ввёл знак ∞, вычислил π бесконечным произведением и дал Ньютону приём, из которого тот сделал бином и ряды.. В 1651 году он заказывает перевод раздела о параллельных, а в 1663-м читает по нему лекцию, где предлагает собственный ход: заменить пятый постулат утверждением «для всякой фигуры существует подобная ей фигура любого размера». Ход честный, но, как мы знаем, снова равносильный.

Через семьдесят лет книгу и лекцию Валлиса читает Джироламо СаккериДжованни Саккериитальянский иезуит, логик и математик · 1667–1733Вывел десятки теорем неевклидовой геометрии, пытаясь довести её до противоречия, — и, не найдя противоречия, объявил, что нашёл. — и, оттолкнувшись от них, пишет сочинение, с которого начнётся финальный акт драмы.

Так эстафета длиной в тысячелетие оказывается передана — через рукопись сомнительного авторства, латинскую типографию и оксфордскую лекцию. Историю математики редко удаётся проследить так подробно.

Задача. Обобщите пару ат-Туси: пусть окружность радиуса $r$ катится внутри окружности радиуса $R$. Покажите, что точка малой окружности описывает гипоциклоиду с $R/r$ остриями, и что случай $R=2r$ вырожденный (гипоциклоида превращается в отрезок), а при $R=4r$ получается астроида $x^{2/3}+y^{2/3}=R^{2/3}$.

Следующая точка: Гранада — где ремесленники полтора века будут перебирать узоры, не зная, что перебирают конечный список.