«Евклид, очищенный от всех изъянов»

Замысел

Джироламо Саккери (1667–1733) — иезуит, профессор математики в Павии, логик по складу ума. Его предыдущая книга «Logica demonstrativa» (1697) посвящена приёму, который он называл consequentia mirabilis: если из отрицания утверждения следует само утверждение, значит утверждение верно.

Этот приём он и решает применить к пятому постулату. План безупречен: предположить, что постулат неверен, и вывести противоречие. Тогда постулат окажется теоремой, а «Начала» — очищенными от единственного пятна. Отсюда и название книги, вышедшей в 1733 году: «Euclides ab omni naevo vindicatus» — «Евклид, оправданный от всякого пятна».

Саккери умер 25 октября 1733 года, через несколько месяцев после выхода книги. Она была забыта почти на полтора века — пока в 1889 году её не переиздал Эудженио БельтрамиЭудженио Бельтрамиитальянский математик · 1835–1900Построил модель, в которой геометрия Лобачевского живёт внутри евклидовой, — и этим закрыл спор длиной в две тысячи лет: если неевклидова геометрия противоречива, то противоречива и обычная., к тому времени уже понимавший, что именно там написано.

Четырёхугольник Саккери и три гипотезы

Саккери начинает с той же фигуры, что и Хайям за 656 лет до него: четырёхугольник $ABCD$, у которого $\angle A=\angle B=90^\circ$ и $AD=BC$. Как мы видели, углы $C$ и $D$ равны — это доказывается без пятого постулата. Три случая:

• гипотеза прямого угла ($\angle C=\angle D=90^\circ$);
• гипотеза тупого угла ($>90^\circ$);
• гипотеза острого угла ($<90^\circ$).

Первое его достижение — доказательство того, что гипотеза не может меняться от фигуры к фигуре: если она верна для одного четырёхугольника Саккери, она верна для всех. Геометрия однородна; выбор делается один раз и навсегда.

Второе — уничтожение гипотезы тупого угла. Здесь Саккери прав, но его победа условна. Он опирается на предложение I.16 «Начал» (внешний угол треугольника больше каждого внутреннего, с ним не смежного), а то, в свою очередь, молча использует бесконечность прямой. На сфере, где «прямые» — большие круги и любые две из них пересекаются, а длина прямой конечна, I.16 неверно. Так что убил Саккери не саму гипотезу, а её совместимость со вторым постулатом Евклида в его сильном чтении. Понять это удастся только после Римана, который различит «неограниченное» и «бесконечное».

Полтораста теорем несуществующей геометрии

Остаётся гипотеза острого угла, и вот здесь Саккери работает три десятилетия. Он выводит из неё:

• сумма углов любого треугольника меньше $180^\circ$;
• прямоугольников не существует;
• подобных неравных треугольников не существует — у треугольника есть абсолютный размер, задаваемый его углами;
• через точку вне прямой проходит бесконечно много прямых, её не пересекающих; среди них две граничные («асимптотические») — они сближаются с исходной прямой неограниченно, но не встречаются;
• две прямые либо пересекаются, либо имеют единственный общий перпендикуляр, либо асимптотичны.

Ни одна из этих теорем не ложна. Все они — теоремы геометрии Лобачевского, доказанные за 93 года до Казани. Саккери фактически написал первый учебник гиперболической геометрии, будучи убеждён, что пишет разоблачение.

Особенно замечателен последний пункт: классификация взаимного расположения прямых. В евклидовой плоскости прямые бывают двух видов — пересекающиеся и параллельные. В плоскости ЛобачевскогоНиколай Иванович Лобачевскийрусский математик, ректор Казанского университета · 1792–1856Первым напечатал геометрию, в которой параллельных больше одной, — и двадцать лет выслушивал, что это бессмыслица. видов три, и средний (расходящиеся прямые с общим перпендикуляром) не имеет евклидова аналога вовсе.

Как он сдался

Дойдя до асимптотических прямых, Саккери обнаруживает, что они имеют «общий перпендикуляр в бесконечно удалённой точке». Формально это не противоречие: рассуждение о бесконечно удалённой точке в его аксиоматике попросту не определено. Но Саккери объявляет результат «противным природе прямой линии» (repugnat naturae lineae rectae) и на этом основании заключает, что гипотеза острого угла ложна.

Это философский вердикт, а не математический, и он сам, кажется, это чувствовал: в конце книги он приводит второе «доказательство», ещё более шаткое, словно не доверяя первому.

Оценка потомков жёсткая и справедливая: Саккери был внутри новой геометрии и принял её за преддверие ада. Он не имел понятия «модель» и не мог задать себе вопрос, который через 135 лет задаст Бельтрами: а вдруг эти теоремы описывают что-то реально существующее?

Ламберт: ещё ближе и снова мимо

Через тридцать три года после Саккери Иоганн Генрих Ламберт пишет «Theorie der Parallellinien» (1766; опубликована посмертно в 1786-м). Он работает с четырёхугольником о трёх прямых углах и идёт дальше Саккери по двум направлениям.

Первое. Ламберт доказывает, что при гипотезе острого угла площадь треугольника пропорциональна его дефекту:

$$S=k^{2}\left(\pi-\alpha-\beta-\gamma\right).$$

Это утверждение поразительное по своим следствиям. Дефект не превосходит $\pi$, значит площадь треугольника ограничена сверху числом $k^{2}\pi$, как бы далеко ни разносить вершины. И ещё: у геометрии появляется собственная единица длины — константа $k$, — тогда как в евклидовой геометрии никакого выделенного масштаба нет.

Второе. Ламберт замечает аналогию со сферой, где площадь треугольника, наоборот, пропорциональна избытку:

$$S=R^{2}\left(\alpha+\beta+\gamma-\pi\right),$$

и делает вывод, который сегодня читается как пророчество: гипотеза острого угла соответствовала бы геометрии на сфере мнимого радиуса. Формально: подставьте $R=ik$ в сферические формулы, и $\sin\frac{a}{R}$ превратится в $\dfrac{1}{i}\sh\frac{a}{k}$ — получатся ровно формулы гиперболической тригонометрии.

Он в полушаге. И останавливается — по тем же соображениям, что все до него: результат слишком странен, чтобы быть правдой.

ЛежандрАдриен Мари Лежандрфранцузский математик · 1752–1833Первым напечатал метод наименьших квадратов, первым сформулировал закон распределения простых чисел — и в обоих случаях приоритет у него оспорил Гаусс.: сорок лет впустую

Последний акт до Казани — Адриен Мари Лежандр, который с 1794 по 1833 год публиковал в переизданиях своих «Начал геометрии» одну попытку доказательства за другой (всего их насчитывают около двенадцати) и каждый раз находил у себя ошибку. Ему принадлежит важная верная теорема, известная как теорема Саккери — Лежандра:

В абсолютной геометрии сумма углов треугольника не превосходит $180^\circ$; если хотя бы у одного треугольника она равна $180^\circ$, то она равна $180^\circ$ у всех.

Иначе говоря, стрелка может отклоняться только в одну сторону, и один-единственный измеренный треугольник определяет геометрию всей плоскости. Из этого, кстати, следует, что вопрос «какова геометрия мира?» в принципе решается одним достаточно точным измерением — идея, которая через сто лет приведёт к экспедициям за солнечными затмениями.

Задача. Докажите, что в абсолютной геометрии дефект аддитивен: если треугольник разрезан чевианой на два, то дефект целого равен сумме дефектов частей. (Указание: сложите суммы углов двух частей и вычтите развёрнутый угол при основании чевианы.) Объясните, почему из аддитивности дефекта немедленно следует, что площадь обязана быть пропорциональна дефекту, если она аддитивна и инвариантна относительно движений.

Следующая точка: Петербург — где найдут величину, которая не меняется, как фигуру ни мни, и тем откроют топологию за век до её рождения.