Эйлер: два результата, на которых стоит половина линии

Результат первый: многогранники

14 ноября 1750 года Эйлер пишет Гольдбаху о наблюдении, сделанном при попытке классифицировать многогранники; статьи выходят в 1758-м, в трудах Петербургской академии.

$$\boxed{\;V-E+F=2\;}$$

Вершины минус рёбра плюс грани.

Что здесь принципиально нового. Все предыдущие результаты о многогранниках касались величин: длин, углов, объёмов. Здесь величин нет вовсе — только число частей и способ их соединения. Формула не изменится, если многогранник смять, растянуть, скособочить, лишь бы не рвать и не склеивать.

Это первый в истории топологический инвариант. Слово «топология» придумает ЛистингИоганн Бенедикт Листингнемецкий математик и физик · 1808–1882Придумал слово «топология» за полвека до того, как дисциплина обзавелась содержанием, и открыл одностороннюю поверхность на несколько месяцев раньше Мёбиуса. Имя закрепилось не за ним ни в том, ни в другом… в 1847 году; сама наука появится у Пуанкаре в 1895-м. До обоих — почти столетие.

Немедленное следствие: правильных многогранников ровно пять. Пусть каждая грань — правильный $p$-угольник, а в каждой вершине сходится $q$ рёбер. Считая рёбра дважды — по граням и по вершинам, — получаем $pF=2E=qV$. Подставим в формулу Эйлера:

$$\frac{2E}{q}-E+\frac{2E}{p}=2 \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=\frac{1}{2}+\frac{1}{E}>\frac12 .$$

При $p,q\geqslant3$ это неравенство допускает ровно пять решений: $(3,3)$, $(3,4)$, $(4,3)$, $(3,5)$, $(5,3)$ — тетраэдр, октаэдр, куб, икосаэдр, додекаэдр. $\blacksquare$

Доказательство, которому в «Началах» отведена вся тринадцатая книга, укладывается в четыре строки. Лучшей рекламы инвариантов не придумать: вместо разбора конструкций — одно уравнение в целых числах.

Что происходит с бубликом

Возьмём многогранник в форме тора. Считаем — получается

$$V-E+F=0.$$

Формула нарушилась. И это не дефект, а открытие: величина $\chi=V-E+F$ зависит не от многогранника, а от того, на какую поверхность он натянут:

$$\chi=2-2g,$$

где $g$ — род поверхности, число ручек. Сфера: $g=0$, $\chi=2$. Тор: $g=1$, $\chi=0$. Крендель с двумя дырками: $\chi=-2$.

Эйлерова характеристика различает поверхности — и для замкнутых ориентируемых различает их полностью. Первая классификационная теорема топологии.

История доказательств: как на самом деле работает математика

Отдельный сюжет, который стоит рассказывать школьникам, потому что он честнее любого учебника.

У Эйлера доказательства не было — он проверил формулу на примерах и был в ней уверен.

• ЛежандрАдриен Мари Лежандрфранцузский математик · 1752–1833Первым напечатал метод наименьших квадратов, первым сформулировал закон распределения простых чисел — и в обоих случаях приоритет у него оспорил Гаусс. (1794) даёт первое доказательство — через проектирование на сферу и подсчёт сферического избытка.
• КошиОгюстен Луи Кошифранцузский математик · 1789–1857Первым потребовал от анализа доказательств вместо очевидности — и первым написал учебник, по которому это можно было выучить. (1813) — «плоское» доказательство: снимаем одну грань, распластываем остальное на плоскости, триангулируем и удаляем треугольники по одному, следя, что $V-E+F$ не меняется.
• Люилье (1813) публикует исключения: многогранник с сквозной дыркой, многогранник с полостью внутри, многогранник с гранью в виде кольца. Для них формула неверна.

Что было дальше, разобрал философ Имре Лакатос в книге «Доказательства и опровержения» (1976), взяв именно этот сюжет как модель. Схема такая: есть догадка; есть доказательство; появляется контрпример; и дальше математики не отбрасывают теорему, а уточняют понятия — что считать многогранником, что считать гранью, что считать телом.

Вывод Лакатоса: учебник, излагающий готовое определение и следующую из него теорему, скрывает от читателя, как всё было. Определение является результатом, а не отправной точкой.

Результат второй: кривизна поверхности

Вторая работа — берлинского периода.

«Recherches sur la courbure des surfaces», доложена в 1760-м, напечатана в 1767-м в «Mémoires» Берлинской академии.

Постановка. Возьмём точку на поверхности и нормаль в ней. Плоскости, проходящие через нормаль, высекают из поверхности кривые — нормальные сечения; у каждого своя кривизна. Как они между собой связаны?

Ответ Эйлера. Среди всех нормальных сечений есть два взаимно перпендикулярных, дающих наибольшую и наименьшую кривизну, — главные кривизны $k_{1}$ и $k_{2}$. А кривизна сечения, повёрнутого на угол $\varphi$ от первого главного направления, равна

$$\boxed{\;k_{\varphi}=k_{1}\cos^{2}\varphi+k_{2}\sin^{2}\varphi\;}$$

Формула Эйлера: все кривизны в точке определяются двумя числами.

Проверка на цилиндре радиуса $R$. Одно главное сечение — окружность, $k_{1}=1/R$; перпендикулярное — прямая, $k_{2}=0$. Формула даёт $k_{\varphi}=\cos^{2}\varphi/R$; сечение под углом — эллипс, и его кривизна в точке касания меньше, чем у окружности. Так и есть.

Зачем это ГауссуКарл Фридрих Гаусснемецкий математик и астроном · 1777–1855«Король математиков», у которого напечатанное было заметно меньше сделанного: половина результатов пролежала в дневнике до самой смерти — включая неевклидову геометрию.

Вот главное для линии. Гаусс в 1827 году определяет свою кривизну как

$$K=k_{1}k_{2}$$

— произведение главных кривизн Эйлера — и доказывает theorema egregium: это произведение не меняется при изгибании поверхности, хотя каждый сомножитель меняется.

Вся соль теоремы — в контрасте, а контраст требует, чтобы читатель уже знал, что такое $k_1$ и $k_2$ и что по отдельности они внешние, зависящие от того, как поверхность вложена в пространство.

Пример, делающий контраст наглядным: у плоскости $k_1=k_2=0$. Свернём её в цилиндр — станет $k_1=1/R$, $k_2=0$. Обе кривизны изменились, произведение осталось нулём. Поэтому бумагу можно свернуть в трубку, но нельзя натянуть на глобус, и поэтому не бывает географических карт без искажений.

Арка, у которой это первое звено

$$\underbrace{V-E+F=2}_{\text{Эйлер, 1750}} \;\longrightarrow\; \underbrace{\int_{M}K\,dS=2\pi\chi(M)}_{\text{Гаусс — Бонне}} \;\longrightarrow\; \underbrace{\operatorname{ind}D=\int_{M}\operatorname{ch}(\sigma)\operatorname{Td}}_{\text{Атья — Зингер, 1963}}$$

Формула Гаусса — Бонне утверждает, что интеграл кривизны по замкнутой поверхности зависит только от её эйлеровой характеристики: как ни мни сферу, ответ всегда $4\pi$. Геометрия в целом определяется топологией. А теорема об индексе — обобщение того же утверждения на произвольные эллиптические операторы, и случай оператора $d+d^{*}$ даёт в точности Гаусса — Бонне.

Значит, теорема 1963 года — прямой потомок формулы 1750 года. Промежуточные звенья — теорема Пуанкаре — ХопфаХайнц Хопфнемецко-швейцарский математик · 1894–1971Построил отображение трёхмерной сферы на двумерную, которое нельзя стянуть в точку, — и открыл этим высшие гомотопические группы, не вычисленные полностью до сих пор. (сумма индексов особых точек векторного поля равна $\chi$) и внутреннее доказательство Черна. Из ПуанкареАнри Пуанкарефранцузский математик, физик и философ науки · 1854–1912Последний универсал математики: создал топологию, увидел хаос там, где все видели порядок, и подошёл к теории относительности вплотную, не сделав последнего шага. — Хопфа, кстати, следует «теорема о причёсывании ежа»: на сфере ($\chi=2\ne0$) непрерывного ненулевого касательного векторного поля не существует, а на торе ($\chi=0$) — существует.

Эйлеровы точки на карте

Их пять, и все в Петербурге: числа Ферма и дзета-функция (1732), семь мостов (1736), анализ как наука о функциях (1748), эта и прямая Эйлера (1765). Мосты и эта — начало топологии; берлинская кривизна 1760 года стоит здесь же, потому что Эйлер и в берлинские годы оставался членом Петербургской академии и печатался в её трудах.

Задача. Футбольный мяч сшит из правильных пятиугольников и шестиугольников; в каждой вершине сходятся три грани. Докажите, что пятиугольников обязательно ровно 12, сколько бы ни было шестиугольников.
(Указание: пусть $a$ — число пятиугольников, $b$ — шестиугольников. Тогда $F=a+b$, $2E=5a+6b$, $3V=5a+6b$. Подставьте в $V-E+F=2$ и получите $a=12$; про $b$ формула не говорит ничего — потому и существуют фуллерены разных размеров.)