Эйлер: анализ как наука о функциях

Уточнение географии

Исходная версия относила всю трилогию к Петербургу. На деле места разные, и для карты это существенно:

Книга	Написана	Издана
«Introductio in analysin infinitorum» (2 т.)	Берлин, ок. 1745	Лозанна, 1748 (у Бускé)
«Institutiones calculi differentialis»	Берлин, ок. 1748	1755, под маркой Петербургской академии
«Institutiones calculi integralis» (3 т.)	Петербург	Петербург, 1768–1770

Причина странности с «Introductio»: Берлинская академия издавала журналы, но не книги, а Петербургская была далеко и в смуте после смерти Анны Иоанновны — Эйлер отдал рукопись швейцарскому издателю.

Хронология самого Эйлера: Петербург 1727–1741, Берлин 1741–1766, снова Петербург 1766–1783. Базельская задача (1735) — петербургская; трилогия — преимущественно берлинская, с петербургским финалом.

Функция выходит на первый план

До Эйлера анализ был наукой о кривых: касательная к параболе, квадратура циссоиды. Эйлер начинает «Introductio» с определения:

Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из этого переменного количества и чисел или постоянных количеств.

Определение по сегодняшним меркам узкое (что такое «аналитическое выражение»?), но переворот совершён: предмет анализа — не фигура, а функция. Позже, в предисловии к «Institutiones calculi differentialis» (1755), Эйлер даст куда более широкую формулировку, близкую к идее соответствия: если одни величины зависят от других так, что при изменении вторых меняются и первые, то первые называются функциями вторых. Между двумя определениями — спор о колеблющейся струне, который заставил его расширить понятие.

Заодно Эйлер закрепил обозначения, которыми мы пользуемся до сих пор: $f(x)$, $e$, $i$, $\Sigma$, $\sin$, $\cos$, $\tg$; он же популяризировал $\pi$ (введённое ДжонсомВон Джонсновозеландский математик · 1952–2020Занимался операторными алгебрами, заметил, что его формулы совпадают с соотношениями в группе кос, — и нашёл инвариант узлов, которого топологи не могли найти сто лет. в 1706-м).

Формула Эйлера

$$e^{ix} = \cos x + i\sin x.$$

Как рассуждал Эйлер. Он берёт определение экспоненты как предела:

$$e^{z} = \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{z}{n}\right)^{n},$$

подставляет $z = ix$, раскрывает по биному с $C_n^k$, и в каждом слагаемом заменяет $n(n-1)\cdots(n-k+1)/n^k$ на 1 (при больших $n$):

$$\left(1+\frac{ix}{n}\right)^{n} = \sum_{k=0}^{n} C_{n}^{k}\frac{(ix)^{k}}{n^{k}} \;\longrightarrow\; \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(ix)^{k}}{k!}.$$

Теперь разделим по чётности $k$, помня, что $i^{2}=-1$, $i^{3}=-i$, $i^{4}=1$:

$$\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(ix)^{k}}{k!} = \underbrace{\left(1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}-\cdots\right)}_{\cos x} + i\underbrace{\left(x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-\cdots\right)}_{\sin x}.$$

При $x=\pi$: $e^{i\pi} = -1$, то есть тождество Эйлера $e^{i\pi}+1=0$, связывающее пять фундаментальных констант.

Приоритетная оговорка: Роджер Котс в «Logometria» (1714) опубликовал эквивалентное соотношение в логарифмической форме, $\ln(\cos x + i\sin x) = ix$. Котс умер в 1716-м в возрасте 33 лет; НьютонИсаак Ньютонанглийский математик, физик и астроном · 1643–1727Создатель анализа, механики и оптики, четверть века проработавший начальником Монетного двора и потративший на алхимию и богословие больше бумаги, чем на физику. сказал, что если бы он прожил дольше, мы бы что-нибудь узнали.

Базельская задача

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}} = \frac{\pi^{2}}{6}.$$

Задачу поставил Менголи в 1650-м; над ней бились ВаллисДжон Валлисанглийский математик и криптограф · 1616–1703Ввёл знак ∞, вычислил π бесконечным произведением и дал Ньютону приём, из которого тот сделал бином и ряды., оба БернуллиБернуллишвейцарская династия математиков · XVII–XVIII векаВосемь математиков в трёх поколениях одной базельской семьи — и почти столько же ссор между ними; на их фамилию приходится закон больших чисел, вариационное исчисление и уравнение гидродинамики., ЛейбницГотфрид Вильгельм Лейбницнемецкий философ, математик и дипломат · 1646–1716Придумал знаки $d$ и $\int$, которыми мы пишем анализ до сих пор, — и всю жизнь искал язык, на котором спор можно было бы заканчивать словами «посчитаем».. Двадцативосьмилетний Эйлер решил её в Петербурге в 1735 году, и это принесло ему европейскую славу.

Рассуждение Эйлера — образец плодотворной нестрогости. Рассмотрим

$$\frac{\sin x}{x} = 1 - \frac{x^{2}}{3!} + \frac{x^{4}}{5!} - \cdots$$

Это «бесконечный многочлен» с корнями $x = \pm\pi, \pm2\pi, \pm3\pi, \ldots$ (нуль корнем не является: значение в нуле равно 1). Многочлен со свободным членом 1 и корнями $r_i$ раскладывается как $\prod(1 - x/r_i)$. Эйлер применяет это к бесконечному случаю, объединяя парные корни:

$$\frac{\sin x}{x} = \left(1-\frac{x^{2}}{\pi^{2}}\right)\left(1-\frac{x^{2}}{4\pi^{2}}\right)\left(1-\frac{x^{2}}{9\pi^{2}}\right)\cdots$$

Раскроем скобки и соберём коэффициент при $x^{2}$: он равен $-\displaystyle\sum_{n\geqslant1}\frac{1}{n^{2}\pi^{2}}$. С другой стороны, из ряда для $\sin x/x$ этот коэффициент равен $-1/3! = -1/6$. Приравниваем:

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}\pi^{2}} = \frac{1}{6} \quad\Longrightarrow\quad \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}} = \frac{\pi^{2}}{6}. \quad\blacksquare$$

Что тут не доказано. Что бесконечное произведение сходится. Что оно сходится именно к $\sin x / x$ (у функции $e^{x}\sin x/x$ те же корни!). Что можно перемножать бесконечно много скобок и собирать коэффициенты. Строгое обоснование дала теорема ВейерштрассаКарл Вейерштрасснемецкий математик · 1815–1897Пятнадцать лет учительствовал в провинциальной гимназии, а потом переписал анализ на языке $\varepsilon$ и $\delta$ — и предъявил функцию, у которой нигде нет касательной. о разложении целых функций в произведение — через 120 лет.

Эйлер, к его чести, не полагался на веру: он вычислил обе стороны численно с большой точностью и убедился в совпадении, а затем нашёл ещё несколько независимых доказательств.

Тем же методом он получил всё семейство:

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{4}} = \frac{\pi^{4}}{90}, \qquad \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{6}} = \frac{\pi^{6}}{945}, \qquad \zeta(2k) = \frac{(-1)^{k+1}B_{2k}(2\pi)^{2k}}{2\,(2k)!},$$

где $B_{2k}$ — числа Бернулли. А вот $\zeta(3)$ он не одолел; иррациональность этого числа доказал Апери только в 1978 году, а замкнутого выражения нет до сих пор.

Дзета-функция и простые числа

$$\zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{s}} = \prod_{p\ \text{простое}}\frac{1}{1-p^{-s}}.$$

Тождество Эйлера (1737) — это, по существу, основная теорема арифметики, записанная аналитически: каждое $n$ раскладывается на простые единственным способом, значит, раскрытие произведения даёт каждое слагаемое ряда ровно один раз.

Отсюда новое доказательство бесконечности простых: при $s\to1^{+}$ левая часть расходится (гармонический ряд), значит, множителей в правой части не может быть конечное число. Более того, расходится и $\sum 1/p$ — количественное усиление теоремы ЕвклидаЕвклидгреческий математик · около 300 года до н. э.Автор книги, которая две тысячи лет была вторым по тиражу текстом после Библии, — и о котором самом не известно почти ничего..

Из этой формулы вырастет вся аналитическая теория чисел и гипотеза РиманаБернхард Риманнемецкий математик · 1826–1866Прожил тридцать девять лет и оставил около десяти работ — из которых выросли современная геометрия, теория функций комплексного переменного и главная нерешённая задача математики. (1859).

Расходящиеся ряды: где Эйлер был «неправ» и почему он прав

Эйлер невозмутимо писал:

$$1 - 1 + 1 - 1 + \cdots = \frac{1}{2}$$

(подставить $x=1$ в $\frac{1}{1+x} = 1-x+x^{2}-\cdots$),

$$1 + 2 + 3 + 4 + \cdots = -\frac{1}{12}$$

(значение $\zeta(-1)$).

С точки зрения КошиОгюстен Луи Кошифранцузский математик · 1789–1857Первым потребовал от анализа доказательств вместо очевидности — и первым написал учебник, по которому это можно было выучить. это бессмыслица: ряды расходятся. Однако в XX веке выяснилось, что Эйлер систематически пользовался тем, что теперь называется методами суммирования:

• по АбелюНильс Хенрик Абельнорвежский математик · 1802–1829Доказал, что формулы для уравнения пятой степени не существует, и потребовал от математики строгости, которой она тогда не знала, — за шесть лет работы и двадцать шесть лет жизни.: $\lim_{x\to1^{-}}\sum a_n x^{n}$;
• по Чезаро: предел средних арифметических частичных сумм;
• аналитическое продолжение.

Ряд $1-1+1-\cdots$ суммируется к $1/2$ и по Абелю, и по Чезаро. Значение $-1/12$ — это аналитическое продолжение $\zeta$, и оно всерьёз используется в теории струн и при регуляризации в квантовой теории поля (эффект Казимира).

То есть Эйлер не ошибался — он пользовался теорией, которой ещё не существовало. Урок точки о Кавальери повторяется: интуиция великого математика опережает доступный ему аппарат на век и более.

Прочее из трилогии

• Гамма-функция: $\Gamma(z) = \displaystyle\int_{0}^{\infty} t^{z-1}e^{-t}\,dt$, $\Gamma(n) = (n-1)!$ — факториал продолжен на нецелые аргументы.
• Формула Эйлера — Маклорена, связывающая суммы и интегралы: $\displaystyle\sum_{k=a}^{b} f(k) \approx \int_a^b f(x)dx + \frac{f(a)+f(b)}{2} + \sum \frac{B_{2k}}{(2k)!}\left(f^{(2k-1)}(b)-f^{(2k-1)}(a)\right)$.
• Постоянная Эйлера — Маскерони: $\gamma = \lim\left(\sum_{k=1}^{n}\frac1k - \ln n\right) \approx 0{,}5772$. Иррациональность до сих пор не доказана.
• Систематическая теория дифференциальных уравнений, интегрирующие множители, разложение в простейшие дроби, эйлеровы подстановки — весь технический арсенал, который и сегодня составляет содержание курса.

Человек

Эйлер ослеп на правый глаз в 1738 году, на левый — к 1771-му. После полной слепоты его продуктивность выросла: он диктовал сыновьям и секретарям, держа в голове выкладки такой сложности, что современники считали это сверхъестественным. Около половины всего наследия (а это 866 работ, 25 томов Opera omnia в серии по математике) создано слепым.

ЛапласПьер-Симон Лапласфранцузский математик, астроном и физик · 1749–1827Свёл небесную механику в пять томов, а теорию вероятностей — в один, и на полтора столетия задал образ мира, в котором будущее вычисляется из настоящего. советовал: читайте Эйлера, он учитель всех нас.

Следующая точка: Париж, 21 декабря 1807 года — день, когда всё, построенное за полтора века, оказалось под вопросом.