Карта → событие
Спор о колеблющейся струне: что такое функция?
Задача
Натянутая струна закреплена в точках $x=0$ и $x=\ell$. Её оттягивают и отпускают. Как она движется?
Даламбер («Recherches sur la courbe que forme une corde tendue mise en vibration», доложено Берлинской академии в 1747-м) выводит уравнение:
$$\frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}} = c^{2}\,\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}.$$
Это первое в истории уравнение в частных производных, выведенное из физики и решённое.
Решение он находит блестящим приёмом. Замена $\xi = x-ct$, $\eta=x+ct$ превращает уравнение в $\dfrac{\partial^{2}u}{\partial\xi\,\partial\eta}=0$, откуда
$$u(x,t) = \varphi(x-ct) + \psi(x+ct)$$
— две волны, бегущие навстречу. Условия закрепления и начальная форма определяют $\varphi$ и $\psi$.
Три позиции
Даламбер. Раз в уравнении стоят вторые производные, начальная форма струны обязана быть дважды дифференцируемой и задаваться единым аналитическим выражением. Иначе задача не имеет смысла.
ЭйлерЛеонард ЭйлерСамый плодовитый математик в истории: около 900 работ, половина языка современной математики — от знака $\pi$ до записи $f(x)$ — и способность считать, не глядя. (1748) возражает физически. Струну можно оттянуть пальцем в одной точке — она примет форму ломаной с изломом. Излом реален, струна после отпускания колеблется, и никакой математический пуризм этого не отменит. Значит, теорию надо расширить так, чтобы начальные данные могли быть «произвольными кривыми, начертанными свободным движением руки» (courbes tracées à main libre).
Заметьте, что это тот самый Эйлер, который в «Introductio» (1748) определил функцию как аналитическое выражение. Спор о струне заставил его самого расширить определение — в предисловии к «Institutiones calculi differentialis» (1755) уже появляется формулировка через соответствие. Точка об Эйлере становится понятнее, если знать эту предысторию.
Даниил БернуллиБернуллиВосемь математиков в трёх поколениях одной базельской семьи — и почти столько же ссор между ними; на их фамилию приходится закон больших чисел, вариационное исчисление и уравнение гидродинамики. (1753) предлагает третье. Из физики известно, что струна имеет гармоники: основной тон и обертоны, все с частотами, кратными основной. Каждая гармоника — стоячая волна $\sin\dfrac{n\pi x}{\ell}\cos\dfrac{n\pi ct}{\ell}$. Раз колебания складываются, общее решение есть сумма:
$$u(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}\sin\frac{n\pi x}{\ell}\,\cos\frac{n\pi c t}{\ell},$$
а начальная форма, соответственно,
$$u(x,0) = \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}\sin\frac{n\pi x}{\ell}.$$
Это ряд Фурье. За пятьдесят четыре года до ФурьеЖозеф ФурьеУтверждал, что любую функцию можно сложить из синусов, — и был не прав ровно настолько, чтобы математике понадобилось сто лет и три новые теории, чтобы разобраться..
Почему Бернулли не поверили
Возражение Эйлера и Даламбера было единодушным и, по их понятиям, сокрушительным.
Каждая функция $\sin\frac{n\pi x}{\ell}$ — аналитическая, гладкая, периодическая, нечётная. Как их сумма может дать ломаную? Или произвольную кривую, начерченную от руки? Ряд синусов — объект жёсткой природы; он не может изобразить что угодно.
Плюс аргумент о счёте параметров: у ряда счётное множество коэффициентов $b_n$, а «произвольная кривая» задаётся континуумом значений. Значит, ряд заведомо беднее.
Оба возражения кажутся убедительными, и оба неверны. Но чтобы это понять, требовались: строгое определение сходимости (Коши, 1821), понятие поточечной сходимости в отличие от равномерной (Вейерштрасс), теорема ДирихлеПетер Густав Лежён ДирихлеДал первое строгое условие сходимости ряда Фурье, нынешнее определение функции и способ доказывать теоремы теории чисел средствами анализа. (следующая точка) и, в конечном счёте, теория меры и пространство $L^{2}$ (Лебег и Рисс — Фишер).
Даниил Бернулли был прав. Доказать это в 1753 году было невозможно.
Настоящее содержание спора
Спор внешне о струне, по существу — о том, что такое функция.
| Участник | Функция — это... | Следствие |
|---|---|---|
| Даламбер | Аналитическое выражение, гладкое | Начальные данные ограничены |
| Эйлер | Любая кривая, в том числе кусочная | Данные свободны, но аппарата нет |
| Д. Бернулли | То, что раскладывается по гармоникам | Прав, но не может обосновать |
За этим стоит и более глубокий вопрос: обязана ли функция, заданная на части отрезка, определять себя на всём отрезке? Для аналитической функции да (это теорема единственности аналитического продолжения); для «кривой, начерченной от руки» — нет. Даламбер интуитивно опирался на первое, Эйлер защищал второе. Полное прояснение придёт только с комплексным анализом КошиОгюстен Луи КошиПервым потребовал от анализа доказательств вместо очевидности — и первым написал учебник, по которому это можно было выучить. и с примером $e^{-1/x^{2}}$ (ряд Тейлора): бесконечно гладкая функция, не определяемая своим поведением в точке.
Почему это точка первой очереди
Потому что без неё точка о Фурье (1807) выглядит громом среди ясного неба. Читатель недоумевает: почему заявление Фурье вызвало такое сопротивление у ЛагранжаЖозеф Луи ЛагранжНаписал механику без единого чертежа, довёл до конца всё, что начали Эйлер и Ферма, и первым понял, что решаемость уравнения зависит от перестановок его корней.?
Ответ: Лагранж был участником этого спора. В 1759 году, двадцатитрёхлетним, он написал работу о распространении звука, где рассматривал струну как предел системы дискретных масс, и подошёл к рядам Фурье вплотную — но остановился, приняв сторону Эйлера и Даламбера в вопросе об общности. Полвека спустя мемуар Фурье означал, что он тогда ошибся; и Лагранж возражал упорнее всех остальных членов комиссии.
Кроме того, эта точка объясняет эволюцию определения функции у самого Эйлера между 1748 и 1755 годом, которая иначе выглядит немотивированной.
Замечание о географии
Точка распределена между тремя городами:
- Париж — Даламбер (хотя публиковался в берлинских мемуарах);
- Берлин — Эйлер (в берлинский период, 1741–1766);
- Базель — Даниил Бернулли (вернулся туда из Петербурга в 1733 году).
Плюс Турин для Лагранжа (1759). Ещё один кандидат на связь «многие-ко-многим»: спор существует только как переписка и полемика в печати между городами, как переписка ПаскаляБлез ПаскальСобрал в шестнадцать лет теорему о шестиугольнике, в девятнадцать — счётную машину, в тридцать один — теорию вероятностей, а потом бросил математику ради Бога. и ФермаПьер ФермаСоветник тулузского парламента, не напечатавший при жизни ни одной математической книги — и успевший заложить теорию чисел, аналитическую геометрию, метод касательных и теорию вероятностей. в линии вероятностей.