Карта → линии → сквозной сюжет

Нить рядов Фурье

самая длинная нить на карте: один вопрос о струне

Спор о колеблющейся струне (Париж, 1747) ставит вопрос «что такое функция?». Через шестьдесят лет Фурье отвечает: любая функция — сумма синусов (1807). Доказать он этого не может, и следующие полтора века математика выясняет, что именно он сказал.

Для каких функций это верно. Чтобы разобраться, Риман строит свой интеграл (Гёттинген, 1854), а Кантор из вопроса о единственности ряда выводит теорию множеств (Галле, 1872). Множества приводят к интегралу Лебега (Париж, 1902), полнота $L^2$ даёт теорему Рисса — Фишера (1907), а мера, выросшая из рядов, становится аксиоматикой вероятности (Москва, 1933). Сам исходный вопрос закрывает Карлесон (Стокгольм, 1966) — через полвека после того, как его в точной форме поставил Лузин. Один спор о струне породил теорию множеств, функциональный анализ и современную вероятность.

Почему именно синусы. Вторая ветвь спрашивает не «сходится ли», а «откуда взялась эта система». Ортогональное разложение бывает и не тригонометрическим: у Лежандра оно выпало из притяжения сфероида ещё до Фурье (Париж, 1782), у Штурма и Лиувилля своя система есть у каждой задачи о колебаниях (1836), а Хаар по прямому вопросу Гильберта строит систему, в которой сходится всякая непрерывная функция (Гёттинген, 1910). Через восемьдесят лет Добеши соединяет несоединимое — гладкость тригонометрической системы и локальность хааровской (1988): у нити, где уже была развязка, оказывается продолжение.

И где это считают. Быстрое преобразование (1965) превращает Фурье в инфраструктуру связи и обработки сигналов. Полный алгоритм, как выяснилось, лежал у Гаусса в работе 1805 года — написанной раньше самого мемуара Фурье и пролежавшей непрочитанной сто восемнадцать лет: он опередил не публикацию, а потребность.

Открыть на карте

1

Париж Берлин и Базель, 1747–1753
Спор о колеблющейся струне: что такое функция?
Завязка: вопрос о колеблющейся струне

Даламбер решает уравнение струны и получает ответ, который Эйлер считает слишком узким, а Даниил Бернулли — слишком узким по-другому. Трое крупнейших математиков века не могут договориться, потому что не согласны в том, что такое функция.
2

Париж 1782
Лежандр: многочлены из притяжения сфероида
Ортогональное разложение за четверть века до Фурье — и автор не заметил, что система ортогональна

Раскладывая ньютоновский потенциал, Лежандр получает семейство многочленов — и не замечает, что они ортогональны. Через семьдесят лет выяснится, что все известные семейства ортогональных многочленов устроены одинаково: физическая задача задаёт вес, вес задаёт систему.
3

Париж 1799, напечатано в 1806
Парсеваль: энергия не зависит от системы координат
Энергия функции равна энергии её коэффициентов — за восемь лет до мемуара Фурье

Формула, связывающая интеграл от квадрата функции с суммой квадратов коэффициентов, доказана за восемь лет до мемуара Фурье — мимоходом, без всякой строгости, человеком, опубликовавшим за всю жизнь пять работ.
4

Париж 21 декабря 1807
Мемуар Фурье: любая функция — сумма синусов?
Заявка: любая функция — сумма синусов

Фурье заявляет Институту Франции: любая функция раскладывается в тригонометрический ряд. Комиссия отказывает за нестрогость — а вопрос «для каких функций он прав?» породит полвека строгого анализа.
5

Кёнигсберг 1828
Бессель: сколько теряет отрезанный ряд
Отрезанный ряд: сколько теряется и почему коэффициенты Фурье наилучшие

Астроном, считавший возмущения планет, доказывает: сумма квадратов коэффициентов не превосходит квадрата нормы, а коэффициенты Фурье — наилучшие из возможных. Равенство достигается тогда и только тогда, когда система полна.
6

Берлин 1829 и 1837
Дирихле: первое строгое условие и новое определение функции
Первая строгая теорема — и новое понятие функции

Дирихле доказывает первую верную теорему о сходимости рядов Фурье, даёт современное определение функции как произвольного соответствия — и тут же строит функцию, к которой его собственная теория неприменима.
7

Париж 1836–1837
Штурм и Лиувилль: первый «спектр»
Почему именно синусы: у каждой задачи о колебаниях своя система собственных функций

Колебания неоднородной струны: решения существуют лишь при избранных значениях параметра — собственных. Явление, которому Гильберт через семьдесят лет даст имя «спектр», — за девяносто лет до того, как выяснится, что это и есть спектры атомов.
8

Гёттинген 10 июня 1854
Один день — две математики
Чтобы понять Фурье, Риман строит свой интеграл

Габилитация Римана: лекция о гипотезах в основании геометрии (на неё пришёл престарелый Гаусс) и первое общее определение интеграла — в одной работе. Один из самых плотных научных дней в истории.
9

Галле 1872–1884
Кантор: множества из рядов Фурье
Из единственности рядов рождается теория множеств

Изучая единственность тригонометрических разложений, Кантор приходит к теории множеств — и открывает иерархию бесконечностей.
10

Париж 1902
Интеграл Лебега
Множества становятся мерой — интеграл Лебега

Мерить не разбиение оси абсцисс, а множества уровней: интеграл, переживающий предельные переходы. Метафора Лебега: Риман считает монеты подряд, я — раскладываю по достоинству.
11

Гёттинген 1904–1910
Гильберт: бесконечномерное пространство и спектр
Пространство, в котором всё это живёт: суммируемый квадрат, ортогональный базис, спектр

Занимаясь интегральными уравнениями, Гильберт приходит к пространству последовательностей с суммируемым квадратом, к ортогональным базисам и к спектральной теореме. Двадцать лет спустя выяснится, что он построил математический аппарат квантовой механики.
12

Брно 1907; публикация — Париж, Comptes Rendus
Рисс и Фишер: долг Фурье выплачен
Интеграл Лебега венчается с пространством Гильберта

Пространство функций с интегрируемым квадратом полно, а тригонометрическая система в нём — базис. Значит, утверждение Фурье 1807 года верно — при правильном понимании слов «функция», «интеграл» и «сходится». Ровно сто лет.
13

Сегед система — Гёттинген, 1910; мера — 1933
Хаар: простейший базис — и мера для пятой проблемы
Гильберт спрашивает, есть ли система, где сходится всякая непрерывная функция. Хаар отвечает: есть

Система из ступенек: первый ортонормированный базис, у которого коэффициент говорит не обо всей функции, а о месте. Это вейвлет за семьдесят лет до вейвлетов. Двадцать три года спустя тот же человек строит меру на группе, из которой фон Нейман получает пятую проблему Гильберта для компактных групп.
14

Москва 1915–1916
Лузитания: гипотеза Лузина
Московская школа подхватывает нить

Лузин предполагает: ряд Фурье любой функции из L² сходится почти всюду. Меньшов тут же строит тонкий контрпример для нуль-рядов. Московская школа теории функций рождается из этой нити.
15

Москва 1923
Колмогоров: расходящийся ряд Фурье
Контрпример, из-за которого в гипотезу Лузина перестали верить

Девятнадцатилетний студент строит суммируемую функцию, ряд Фурье которой расходится почти всюду, а через три года — расходящийся всюду. Первая работа человека, который через десять лет аксиоматизирует теорию вероятностей.
16

Москва 1933
«Grundbegriffe»: вероятность = мера
Нить ветвится в теорию вероятностей

Колмогоров аксиоматизирует вероятность как теорию меры — ту самую, что выросла из рядов Фурье через Лебега. Вся современная вероятность стоит на этой книге.
17

Москва 1934
Понтрягин: двойственность и гармонический анализ на группе
Три преобразования Фурье оказываются одним: анализ живёт на группе, а не на отрезке

Двойственность для локально компактных коммутативных групп объясняет, почему ряд Фурье на окружности, интеграл Фурье на прямой и дискретное преобразование — одно и то же: гармонический анализ живёт на группе, а не на отрезке. Понтрягин ослеп в четырнадцать лет и всё считал в уме.
18

Мюррей-Хилл (Bell Labs) 1965
БПФ: алгоритм, опередивший потребность
Нить уходит в вычисления — а полный алгоритм лежал у Гаусса, написанный раньше мемуара Фурье

Ускорение в пятьдесят тысяч раз на миллионе точек — не «быстрее», а «стало возможным». Полный алгоритм есть у Гаусса в работе 1805 года, написанной раньше мемуара Фурье и пролежавшей непрочитанной сто восемнадцать лет: он опередил не публикацию, а потребность.
19

Уппсала 1966
Карлесон: последний ответ на вопрос 1807 года
Развязка через 51 год

Ряд Фурье функции с интегрируемым квадратом сходится к ней почти в каждой точке. Гипотезу Лузина считали ложной пятьдесят лет; Леннарт Карлесон доказал её, и сквозная нить линии, начатая в 1807 году, замкнулась.
20

Мюррей-Хилл (Bell Labs) 1988
Добеши: всплеск, у которого есть и гладкость, и место
После развязки: у синусов находится наследник, который знает и частоту, и место

Фурье знает частоту, но не знает места; Хаар знает место, но не бывает гладким. Добеши строит ортонормированные базисы, у которых есть и то и другое, — ценой того, что записать их формулой нельзя.