Парсеваль: энергия не зависит от системы координат

Человек, о котором почти нечего рассказать

Марк Антуан Парсеваль де Шен (1755–1836) — из небогатого дворянства, убеждённый роялист. В 1792 году он попал в тюрьму, в 1799-м бежал из Франции, напечатав стихи против Бонапарта. В Академию его выдвигали пять раз и ни разу не избрали.

За всю жизнь он опубликовал пять работ — все прочитаны Академии между 1796 и 1799 годами и напечатаны одной книжкой в 1806-м. Его имя стоит сегодня в каждом учебнике обработки сигналов на планете.

Что он доказал

Не теорему, а вспомогательное утверждение внутри мемуара о решении дифференциального уравнения. Приём чисто формальный: взять два степенных ряда, подставить $z=e^{i\theta}$, перемножить и почленно проинтегрировать. Ни слова о сходимости — в 1799 году такой вопрос ещё не задавали.

В современной записи, для функции с коэффициентами ФурьеЖозеф Фурьефранцузский математик, физик и префект Изера · 1768–1830Утверждал, что любую функцию можно сложить из синусов, — и был не прав ровно настолько, чтобы математике понадобилось сто лет и три новые теории, чтобы разобраться. $c_{n}$:

$$\boxed{\;\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|f(x)|^{2}\,dx=\sum_{n\in\mathbb{Z}}|c_{n}|^{2}.\;}$$

Что это значит

Это теорема Пифагора. В трёхмерном пространстве квадрат длины вектора равен сумме квадратов координат — при условии, что базис ортонормирован. Здесь то же самое, только координат бесконечно много.

На языке физики: энергия сигнала одна и та же, считать ли её по времени или по частотам. Энергия звука равна сумме энергий его гармоник. Эквалайзер, спектрограмма, оценка мощности шума, любой разговор о том, «сколько сигнала приходится на такие-то частоты», опирается на это равенство.

И пикантность датировки: равенство доказано в 1799 году, а мемуар Фурье прочитан в 1807-м. Формула о рядах Фурье старше самих рядов Фурье.

Где это работает

Действующее значение. В розетке 220 вольт при амплитуде около 310 — потому что действующее значение есть корень из среднего квадрата, то есть корень из левой части равенства. Правая часть говорит, что его можно считать по гармоникам: вклады складываются независимо, ни одна гармоника не «съедает» другую.

Спектрограмма. Высота столбика — это $|c_{n}|^{2}$, а сумма всех столбиков равна энергии куска записи. Поэтому эквалайзер, поднявший одну полосу, увеличивает общую энергию ровно на посчитанную заранее величину.

Оценка шума. Если полезный сигнал сосредоточен на низких частотах, а шум размазан по всем, энергия шума видна как хвост суммы $\sum|c_{n}|^{2}$ — и простейшая фильтрация состоит в том, чтобы этот хвост отбросить. Аккуратная версия той же мысли работает в вейвлетном базисе.

Что из неё вытаскивается за две минуты

Возьмём $f(x)=x$ на отрезке $[-\pi,\pi]$. Интегрированием по частям находим $c_{n}=\dfrac{i(-1)^{n}}{n}$ при $n\ne0$ и $c_{0}=0$, так что $|c_{n}|^{2}=1/n^{2}$.

Левая часть равенства:

$$\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^{2}\,dx=\frac{\pi^{2}}{3}.$$

Правая часть:

$$\sum_{n\ne0}\frac{1}{n^{2}}=2\sum_{n\geqslant1}\frac{1}{n^{2}}.$$

Приравниваем — и получаем

$$\sum_{n\geqslant1}\frac{1}{n^{2}}=\frac{\pi^{2}}{6},$$

то есть базельскую задачу, над которой бился весь начала XVIII век и которую ЭйлерЛеонард Эйлершвейцарский математик, работавший в Петербурге и Берлине · 1707–1783Самый плодовитый математик в истории: около 900 работ, половина языка современной математики — от знака $\pi$ до записи $f(x)$ — и способность считать, не глядя. решил в 1735-м совсем другим способом. Взяв $f(x)=x^{2}$, тем же приёмом получаем $\sum 1/n^{4}=\pi^{4}/90$, и так далее для всех чётных степеней.

Что за этим стоит на самом деле

Равенство Парсеваля выполняется не всегда. Если система ортонормирована, но чего-то в ней не хватает, часть энергии функции не попадёт ни в один коэффициент, и слева окажется больше, чем справа. В общем случае верно только неравенство — это следующая точка.

Поэтому равенство Парсеваля есть в точности утверждение о полноте системы: ничего не потеряно. А то, что тригонометрическая система полна в пространстве функций с суммируемым квадратом, будет доказано лишь в 1907 году — через сто восемь лет после Парсеваля, и для этого понадобится интеграл Лебега.

Для преобразования Фурье на всей прямой аналог доказал Планшерель (1910); в физике и технике то же равенство называют теоремой Рэлея об энергии (1889).

Имя

Парсеваль не видел ни одного ряда Фурье и не утверждал, что его тождество к ним относится. Имя за формулой закрепилось уже в XX веке — когда выяснилось, что она говорит ровно то, чего от неё хотят: отображение $f\mapsto(c_{n})$ сохраняет длину. На языке этой линии — изометрия пространства функций на пространство последовательностей.

Следующая точка: Кёнигсберг, 1828 — что происходит, если ряд оборвать.